УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

величину угла, смежного с углом в 10°. Тогда очевидно х обозна­ чает лишь положительные числа, меньшие 180. Записывается это так: допустимые значения 0 < х < 1 8 0 . Пусть второе уравнение составлено из задачи: найти число де­ сятков двузначного числа, оканчивающегося цифрой 5, если оно больше суммы цифр его в 5 раз (проверьте). Тогда допустимыми \0х + 5 ? г значениями для х в уравнении — --- = 5 будут только однознач- х + 5 ные натуральные числа. 2. Решение или корень уравнения. Число решений уравнения Рассмотрим примеры уравнений: 1. х 4- 2 =^=5; 2. (х—1) (х — 3) (х — 4) = 0; 3. 2х : х = 2; 4. х==х+ 3 ; г- Юх + 5 ? q Выше уже говорилость, что одновременно с записью уравнения мы мысленно ставим и те вопросы, которые с ним связаны (см. стр. 236). Попробуем ответить на эти вопросы для каждого из приведен^ ных уравнений. Для первого уравнения легко находим число 3, обращающее его в верное равенство. Кроме числа 3, очевидно, других значений*, обращающих уравнение в верное равенство нет, так как при зна­ чениях х, больших (меньших), чем 3, числовое значение левой части будет больше (меньше) 5. (Проверьте). Во втором уравнении выражение (х — 1) (х — 3) (х — 4) обращается в нуль при значениях х, равных 1; 3 и 4. Следовательно, уравнение при этих значениях неизвестного обращается в верное равенство, или будем говорить, что числа 1; 3 и 4 удовлетворяют уравнению. Никакое иное число, отличное от 1; 3 и 4, не обращает ни один из сомножителей левой части в нуль, и следовательно, не обращает уравнение в верное равенство, то есть не удовлетворяет уравне­ нию 2 . Третье уравнение является тождеством (проверьте), следова­ тельно, ему удовлетворяют любые рациональные числа, кроме 0 , то есть любые допустимые значения неизвестного. Четвертому уравнению ни одно число не удовлетворяет, так как численное значение правой части всегда больше численного значе­ ния левой на 3 единицы. (Проверьте). В пятом уравнении труднее всего узнать, есть ли такие значе­ ния неизвестного, которые удовлетворяют уравнению, а если есть, то какие именно. Оказывается, этому уравнению удовлетворяет только значение неизвестного 17,5. (Проверьте). Однако, если счи­ тать, что это уравнение составлено, например, по условию задачи: какое двузначное число, оканчивающееся на 5, в 8 раз больше суммы его цифр, то значение * = 1 7 ,5 будет недопустимым, так как число десятков двузначного числа не может быть дробным и боль­ шим 9 (таким, как 17,5). Следовательно, и 5-е уравнение в этом случае не обращается в верное равенство ни при каком допустимом значении неизвестного. Теперь введем определение корня или решения уравнения. О п р е д е л е н и е . Решением или корнем уравнения называется такое допустимое значение неизвестного, которое обращает уравне­ ние в верное равенство. Например, про 5-е уравнение можно сказать, что оно имеет корень 17,5, если допустимыми являются рациональные числа, и не имеет корней, если допустимыми значениями являются натуральные 237