УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Если, например, в равенстве Зх — 5 = 2х + 3 буква х обозначает неизвестное число и ставится задача найти те значения х, при которых это равзнство обращается в верное, или убедиться, что таких значений нет, то такое равенство называется уравнением. О п р е д е л е н и е . Уравнением называется символическая запись (с помощью равенства) задачи об отыскании тех значений неизвест­ ного, при которых значения двух данных выражений равны. Более кратко будем говорить, что уравнение — это равенство, содержащее неизвестное, помня, однако, что с уравнением всегда связана задача о нахождении неизвестного и что уравнение никак нельзя смешивать с верным или неверным арифметическим равен­ ством. Поэтому, чтобы по самой записи можно было отличить уравнение от других видов равенств, когда это важно и нужно, мы будем употреблять для его обозначения особый знак n=L “ . Например, наряду с обычной записью уравнения Зх — 5 = 2х + 3 будем иногда употреблять и такую запись: Зх —-5 =L 2 х -|-3, напоминающую о том, что с уравнением всегда связаны вопросы: 1 ) есть ли значения не­ известного, при которых уравнение обращается в верное равенство, и 2 ) если есть такие значения, то какие они именно и сколько их. Приведем примеры уравнений: 1) Зх — 5 2=х + 3; 2. x (x + l ) J L JLx 2 + х; 3. х + 2 JLx + 5. Здесь легко заметить, что 2-е уравнение является в то же время тождеством и что 3-е уравнение никогда не будет обращаться в верное равенство. Проверьте это сами. При­ думайте уравнения такого рода, как второе и третье. П р и м е ч а н и е : Заметим, что с буквенными равенствами — формулами, выра­ жающими зависимости между величинами, приходилось встречаться и раньше. На- ар пример, в арифметике встречались с формулой b = —- для вычисления р — про- 1UJ центов от числа а, с формулой прямой пропорциональной зависимости у = kx и др.; в геометрии — с формулой вычисления площади квадрата по его стороне 6 = в2; в физике - с формулой для вычисления веса тел (Р ) по его объему (о) и удельному весу (d ) P = d v и т. д. Все эти формулы можно рассматривать и как уравнения, если какие-либо вели­ чины в них считать неизвестными. § 2. УРАВНЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 1. Допустимые значения букв в уравнении ' 1 Рассмотрим примеры уравнений: > „ | г Юл: + 5 ? _ . х2 ? 10 а) х+ 1 0 = 180; б)-----— = 5 ; в) —= ---- . х + 5 х х — 2 О п р е д е л е н и е . Допустимыми значениями букв в уравнении называются такиз их значения, при которых имеют числовые зна­ чения левая и правая части уравнения. Согласно этому определению, допустимыми значениями буквы х для первого уравнения будут любые рациональные числа. Сокра­ щенно это запишем так: доп. знач. х — любое число. Для второго уравнения доп. знач. х ф — 5 (х — любое число, кроме — 5). Для третьего уравнения доп. знач. { * ^ 2 (х ~ любое число, кроме 0 и 2 ). Если в уравнении буквы обозначают конкретные величины, на­ пример, в том случае, когда уравнение составлено из условия задачи, то допустимые значения для букв определяются по смыслу задачи. Пусть, например, первое уравнение составлено из задачи: найти 236