УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Выражения, составляющие равенства, называются его частями — левой и правой. В приведенных примерах первые три равенства не содержат букв, их будем называть арифметическими. Арифметические равен­ ства бывают верными и неверными , смотря по тому, равны или не­ равны числовые значения их частей. Так, равенства первое и второе являются верными, а третье — неверным (проверьте). Для обозначения любого равенства (верного или неверного) употребляется знак „= “, для обозначения же верного равенства употребляется также знак „= “ (знак верного равенства), а для обо ­ значения неверного равенства — такой знак „ф*. Поэтому можно записать эти три арифметические равенства еще и так: 1 . 2 + 3 = 5; 2 . -— —= — ■— и 3. ----- Ф —■— , однако ошибочно было бы пи- 2 3 2 3 3 5 3 5 сать 2 + 3=^5 или ---- . 3 5 3 5 Таким образом, знак „= “ можно применять для обозначения любого равенства, а знаки я= “ и „ф" лишь для обозначения соот­ ветственно верного и неверного равенства. Четвертое и пятое равенства содержат буквы. Перейдем к их рассмотрению. 2. Равенства, содержащие буквы •Выше мы говорили о равенстве или неравенстве двух чисел или численных значений арифметических выражений. Если же возьмем два выражения, содержащие букву, например, Зх — 5 и 2х + 3, то в этом случае уже нельзя будет сказать, что их численные значе­ ния либо равны, либо неравны. Здесь, оказывается, может быть и то, и другое. В самом деле, из таблицы численных значений этих выражений (см. таблицу) видно, что эти выраженияпринимают как одинаковые значения 19 при значении буквы х, равном 8 , т^к и раз­ личные значения при других значениях буквы jc . X — I 0 I 3 4 5 6 7 8 9 10 Зх—5 - 8 —5 - 2 4 7 10 13 16 19 22 15 2х+3 I 3 5 9 11 13 15 17 19 21 23 Следовательно, равенство, содержащее буквы, в отличие от арифметического, которое бывает лишь верным или неверным, имеет иной смысл. При одном наборе (системе) значений букв, входящих в него, оно может быть верным, а при другом — неверным. Так, четвертое равенство (см. пункт I) при значении буквы х, равном 8 (* = 8 ), обращается в верное равенство: 3*8 — 5 = 2-8 + 3, а при всех других значениях буквы х обращается в неверное ра­ венство (например, при * гг 2 получаем неверное равенство 3-2 — 5=^= ф 2 - 2 + 3 (проверьте). Пятое равенство при любом допустимом наборе значений букв а и b обращается в верное равенство. Такие особенные равенства, как 5-е, называются тождествами. С ними мы встречались при изу­ чении действий над одночленами и многочленами. О п р е д е л е н и е . Тождеством называется равенство, являю­ щееся верным при любых допустимых значениях входящих в него букв. Всякое верное равенство также называется тождеством. Знак тождества тот же, что и веоного равенства. Примеры тождеств: a2:ass а; (а + I) а = а2 + а; 2 4 еее42. (Придумайте и напишите еще ряд тождеств). 235