УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

3. Решая 3-ю систему совокупности, получим: Здесь новым является решение z=\ х У 1 и 2 s s — 1 X = 2 .У— ~ 2 z = — 1 2 . .У= — 2 Наконец, решая 4-ю систему совокупности, получим еще решения. III о Сп X = 1,25 1 . . У = 2,5 • 2 . У = 0,25. и о к о н ч а т е л ь н о о т в е т ы : , z = 2 Z =S 0,5 X = 2 LO О III 4 x = 1,25 ч III III to У = _ 2 3. у = 2,5 4. . у зз 0,25 z = - 1 z = 2 z = 0,5 П р и м е ч а н и е . Данная система решена в сборнике задач Шапошникова и Вальцева (изд. 1928, стр. 84) так: „Ее можно заменить простейшей. Для этого, оставив первое уравнение без изменения, разделим второе на первое и третье на второе, получится: х — _у = 2 (1 — z); х + у = \+ z и 10 (х2+ у2) = 13 (1 + г2). С помощью 2-х первых уравнений выражаем х и у через г и полученные выра- 3 - z 3z — 1 жения х — —-— и у = — -— вставляем в 3-е уравнение". Находим решения, полученные нами (3-е и 4-е), а бесчисленное множество решений ( 1 -е и 2 -е) таким образом утеряны. Здесь поучительным является то, что необоснованное решение уравнений или их систем чревато самыми неожиданными и в то же время опасными последствиями. В самом деле, ведь согласно извест­ ной теореме для уравнений, можно делить обе части уравнения на одно и то же выражение, а не на различные, как сделано Шапош­ никовым и Вальцевым, и притом это выражение должно быть от­ лично от нуля при допустимых значениях, входящих в него букв. А здесь и это требование, очевидно, не выполняется. [ yz = а 2-йпример. Решить систему : xz = b (1) в области вещественных { ху = с чисел. yz = а xz = b ( 2 ), что Исходная система равносильна следующей _ ^ x2y 2z2 = abe может быть легко доказано непосредственно на основании опреде­ ления равносильных систем (доказательство опускаем). Далее по­ лучим: yz = a zx = b ху = с ( xyz = У аЬс yz = а z x = b ху = с xyz = — V abc (тоеорема 5 при abc > 0). 228