УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

f(x , kx) = a t x nf ( l , k ) = a , _ y v , , J (теорема 2 — тождествен- y(x ,kx) = b (теоремам). xny ( 1 , k ) = b ное преобразование одно- y = kx y = kx родных многочленов). bxnf ( 1 , k) = ab axn<? ( 1 , k) = ab (теорема 2 , так как а ф О к Ь фЪ ) у = kx bxnf(\, k) = ахп<?(I, k) j b f(l, k) = a? (l,k ) axn<? (1, k) = ab (теорема 3). ax\(\, k) = ab ма 2, при у = kx [у = kx x фО). Дальнейшее решение очевидно. Найдя корни 1-го уравнения (значения к), подставляем их во 2 и 3 уравнения и находим значе­ ния * из 2 -го уравнения и у — из третьего уравнения. При x = 0 решаем исходную систему, которая примет вид { /{( 6 у ] ^ аЬ ф О ' Решив этУ систему 2 -х уравнений с одним неиз- ' х = О у ф о ' вестным у, найдем решения вида | ~ , X, если они есть. П р и м е ч а н и е . При { очевидно, исходная система нулевых решений УZ q не имеет- 2. Если хотя бы одно из чисел а или b равно нулю (положим для ( * 7 ( 1 , А) = 0 определенности а = 0 ), то получим А > ( 1 , k) = b у = kx и далее / ( 1 , ^ = 0 xnf(\,k) = b (теорема 2 при х ф 0 ). у = kx Далее, как в случае 1, находим k из 1-го уравнения системы и далее способом подстановки решаем систему. При л: = 0 решается исходная система, как и в случае 1. П р и м е р ы . 1. Решить систему Решение: i х3 + у 3 1 х2у + ху 2 + 2 у3 = 2 . 1 ) 2 ) 3) *3 4- у З = 1 (данная система равносильна исходной при хфО ). 1 х2у + ху2 + 2 'у3 у = kx *3(1 + k3) = 1 л :3 (k + k2 + 2k3) = 2 (теоремы 2 и 3). у = kx Х 3 ( \ + £ 3 ) = 1 х3{k + k2+ 2k3) = 2 ( 1+ k3) X 3 (теорема 3). у = kx П р и м е ч а н и е . Здесь выражение jc 3 (1 + AT3) из 1-го уравнения системы мы подставляем в правую часть 2 -го уравнения вместо 1 , заменив 2 на 2 (К3+ 1 )л:3, желая этим показать, что теорема 3 имеет место и в этом случае. Можно было бы прийти к данной системе и с помощью теоремы 4 (способ алгебраического сложения). *3(1 + # » ) = ! k2 + k - 2 = О у = kx Б-142.-15 (теорема 2 ). х 3 ( 1 + £3) = 1 (k — 1 ) (&+ 2) — О у = kx (теорема 2 ). 225