УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

З а м е ч а н и е . Уравнение х2у~ + 2 ху — 8 = 0 можно решить отно­ сительно ху и сразу составить совокупность систем „г“, минуя си­ стему „в“. III. Система уравнений вида: j ==а. Основная идея решения системы III та же, что и при решении системы II. П р и м е р. | = ^ . (1) { 2 х у = 13 (теорема 2). Г (х+ у )2 - 25 = 0 (теоремы 2 и 3 ). ( (х + У 5) (■* + У + 5) = 0 I ху — 6 \х у = 6 (теорема 2 ). х + у = 5 _ 5 (теорема 5), и т. д. ху = 6 З а м е ч а н и е . Систему III можно преобразовать еще так j + / _ = * . (2). Далее решение вести как в случае системы I. В этом случае выводная система (2) хотя и содержит решения исходной, но может содержать и посторонние решения. Учитывая это, решения надо отбирать путем проверки. IV. Система уравнений вида: j = а Возвышая 2-е уравнение в п- ю степень, получим систему [ J y — b" а ’ содеРжащУ1° все решения исходной. Далее решаем, как в случае (I). V. Система уравнений в и д а : | - ^ ^ | ^ ^ (1), где f(x , у) и <р(х, у) однородные относительно х и у многочлены п- йстепени. Особый (искусственный) прием решения такого рода систем заключается в замене исходной системы ( 1 ) системой урав- [ / ( * , У ) = а нений | ср (х, у) = b ( 2 ), где k — произвольный параметр. I у = kx Очевидно, что всякое решение системы (2) является и решением системы ( 1 ), однако обратное предложение, вообще говоря, неверно, а именно: решения вида системы ( 1 ), если они есть, не явля­ ются решениями уравнения у = kx, а следовательно, и решениями системы (2). Решения же системы (1) иного вида, чем j * ®, явля­ ются и решениями системы ( 2 ), например, всякое решение ( Х = *Ф ® I У = ? о системы ( 1 ) удовлетворяет уравнению у = kx при k = — , (где а= ^ 0 ), Ч а следовательно, и системе ( 2 ). Поэтому множество решений системы (1) состоит из множества решений системы (2) и множества решений вида | * ^ q . если они есть. Решение системы (2) будет выглядеть так: 1. При j ^ j 224