УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

решения систем уравнений ясными и теоретически обоснованными. Причем мы, как правило, не будем подвергать критическому анализу то изложение особых приемов решения систем, которое имеет место в ряде школьных учебников; учитель может это сделать сам, срав­ нивая наше изложение с тем необоснованным и порою ошибочным, которое все еще встречается в учебной литературе по алгебре. I. Система уравнений вида: | а . Помимо решения ее обычным приемом, способом подстановки, она решается также особым приемом, основанным на теореме, обрат­ ной теореме Виета: если существуют 2 вещественных числа zx и z2, сумма которых равна (z, + z2 == а), а произведение равно vbu (Zj-Z2= b), то эти числа суть корни уравнения z2— az + b = 0. Поэтому значения х и у, удовлетворяющие системе уравнений { 5 ^ Г а * еСТЬ К 0 РНИ Уравнения z2— az + b = 0. Откуда 2 | z 2 Г* = УУ = I х = z2 \ ysEZj или = а + У а2— 46 _ 2 У = а — У а2— 4Ь __ а — У а2— 46 2 У^~- 4Ь Условие вещественности решений: а 2— 4Ь>0 . Система I х —у==а сводится к системе / У) •' 1 Х ( — у ) = - а ху- и т. д. II. Система уравнений вида: | х п^ + >у п==Ь П р и м е р 1 . Основная идея особого приема решения данной системы заклю­ чается в представлении выражения хп+ уп как функции выражений х + у и ху [хп + у п = f (x ± у, ху)), например, х2 + у2 = (л: ± у)2+ 2ху. ( х + у = 5 I х + у = 5 1 jc 2 -h 3 ; 2 = 13 1 (х + у)2— 2ху = 13 (теорема 2) {ху^— 6~'* (теоремы 3 и 2). Здесь вместо х + у во 2-е уравнение подставили 5, и надо, чтобы учащиеся хорошо поняли, что хотя выражения х + у и 5 не тождественны, но выводная система равно­ сильна предыдущей на основании теоремы 3. Далее система решается или обычным, или особым приемом, как в случае I. П р и м е р 2. а) { £ + ^ 4 J . Здесь х* + у 4= ( х— уУ+ 4 ху(х2+ у2) — 6 х2у 2^ (х —у)*-\- 4 ху (х —у)2+ 2 х2у2. Произведя замену выражения х4+ у 4, получим, у)4 + 4 ху (л: — у ) 2 + 2х2у2 = 17 (теорема 2), г х - у = 1 [ху = 2 ’> { (х , - 2) (ху + 4) - 0 (те°Р“ а *>• г> и так далее. | х - у = 1 \ху = — 4 (теорема 5), 223