УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

3. В конце статьи приводится подбор упражнений для графиче­ ского и аналитического решения систем уравнений в 8 -м классе, содер­ жащий всевозможные сочетания известных учащимся графиков урав­ нений первой и второй степени. Учитель, придавая параметрам различные значения, может получить интересующий его случай графического и аналитического решения системы уравнений. § 2. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ И ОБОСНОВАНИЕ ПРИЕМОВ ИХ РЕШЕНИЯ 1. СИСТЕМА 2-х ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ Общий вид системы 2-хлинейных уравнений с двумя неизвестными таков: { a vx + bxy = cx \а2х + Ь2у = с2 Приведем исчерпывающее решение системы (1) при произвольных значениях коэффициентов: а и Ьх, а2, Ь2, сх и с2. Для удобства начнем ее решать с помощью теоремы 4-а. Полу­ чим систему ( Л\ Ь2 ' C L X — ^ 2^1 I (а{Ь2— а2Ьх)у = а хЬ2 — а2сх равносильную исходной при а хЬ2—а2Ьхф 0. Для краткости записей введем обозначения ci^bo а2Ьх — Д, схЬ2 Ьхс2 — Д| и fljCo а2с х — Д ( 2 ) тогда система ( 2 ) примет вид | д * _ д 1 ( 2 ), откуда х = ъ л при Д = ^ 0 (теорема 2). Следовательно: 1. При Ь ф О решением системы (1) является следующая система ==ii- д значений: У 2. При гд= о Х ^ ф О система ( 2 ), следовательно, и система ( 1 ) не имеет /Д = 0 1 Дг 0 решений. (Система (1) не имеет решений, так как не имеет их систе­ ма (2), которая содержит все решения системы (1). См. замечания к теореме 4-а, стр. 209). 3. Если Д= Д 1 = Д 2 = 0, то система (2) имеет решения | х — любое число I у — любое число, но системы ( 2 ) и ( 1 ) в этом случае неравносильны, поэтому пока ничего нельзя сказать о решениях исходной системы ( 1 ). Преобразуя исходную систему на основании теоремы 4, приме­ нение которой возможно, если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля; например, при ЬхФ 0 получим систему 217