УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

На примере системы уравнений ( х + у = 2 1 (х — у) (х + 2у — 4) = 0 ' ’ и совокупности систем уравнений х + у = 2 х + у = 2 х + 2у — 4 = О объясняется 4-е свойство (или 5-я теорема) о равносильности системы уравнений ( 1 ) и совокупности систем уравнений ( 2 ). При объяснении можно ограничиться тем, что, решив каждую линейную систему со­ вокупности ( 2 ), проверить, что решения совокупности ( 2 ) и f V" -- Л являются и решениями системы (1). Однако для большего убеждения учащихся в том, что система ( 1 ) не имеет еще каких-либо иных решений, кроме тех, которые имеет совокупность ( 2 ), целесо­ образно способом подстановки преобразовать систему ( 1 ) в равно­ сильную ей систему j * 2 ) = 0 ТепеРь Уже очевидно, что удовлетворять системе (3) могут лишь значения у=\ и у = 2 и соответственно х = 1 и х--=0. Таким образом равносильность си­ стемы ( 1 ) и совокупности ( 2 ) будет убедительно обоснована. Достаточно наглядно можно объяснить равносильность систем ( 1 ) и ( 2 ), решив их графически. З а м е ч а н и е . В хорошо подготовленном классе может быть проведено доказательство равносильности системы и совокупности на этом же примере системы и совокупности, используя определение равносильности систем, или преобразовав систему ( 1 ) так: + у = 2 х + у = 2 х — у = О х + 2у — 4 = О и далее I х . \ • * - . П р и м е р . Решить систему | у*= О х + у == 2 х + 2у — 4 = О х 2 + у = 4 у + 2 = х * а) Решим сначала эту систему графически, для чего построим графики уравнений у = 4 — х2и у = х — 2 и найдем координаты точек пересечения этих графиков. Получим решения | х ~ 3 б) Решим эту систему способом подстановки: х = 2 у = 0 ' 1 . 4. х 2 + у = 4 у + 2 = х j х — 2 = О \у= х — 2 ( х -f-3 = О \У — х Ч X У = Ь х — 6 х — 2 О 4-е свойство - 2 ) (х + 3) = О х — 2 х = 2 у ^ О х = — 3 У = — 5 Ответ: у = — 2 З а м е ч а н и я : 1. Разъясняется учащимся, что в дальнейшем можно решать уравнения с одним сл№(«.м^ а) от­ дельно, затем, подставив найденные корни evo во 2 -е -уравнение, можем сразу писать ответ , минуя запись систем 3 и 4. 2. При преобразовании совокупности систем {\) в нов-ую сово­ купность равносильность их считаем очевидной на основании теоремы ( 2 ), общей как для системы, так и для совокупностей. 216