УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Разъяснение 3-го свойства систем уравнений после этого не пред­ ставляет принципиальных трудностей. Рассмотрим системы: Исходная система Выводная система f 2х + Зу — 5 = 0 I 2х -(-3 у — 5 = 0 /о\ 1 Ъх-Чу — 1 = 0 У ) \ (2х +3у —5) 2+ (Зх —2у —1) 3=0 v ; Чтобы установить равносильность этих систем, достаточно ре­ шить их обе способом подстановки и установить, что они имеют одно и то же решение j * ~ J . При решении системы (2) способом подстановки мы фиксируем внимание учащихся на промежуточной системе | ^ = ^ (3)- На соответствующем плакате (чертеже), который здесь не при­ водится, мы вновь обращаем внимание учащихся на неравносильности вторых уравнений этих систем, но и на равносильности самих систем. В 9-м классе при решении систем с помощью теоремы (4-а) бу­ дем иметь и такие пары систем: ( 2х + Зу = 5 2 3 ( 13л: = 13 Зх — 2у = \ 3 - 2 I 13.у = 13 которые совсем не содержат попарно равносильных уравнений, но сами являются все же равносильными. Этот факт удобно иллюстри­ ровать также с помощью графиков уравнений этих систем на соот­ ветствующем плакате. Чтобы не возвращаться в дальнейшем к вопросу об изучении теории равносильности системы уравнений в старших классах, заме­ тим здесь, что конкретно-индуктивный метод изучения теории может быть завершен в 9-м классе формально-логическим обоснованием ее хотя бы и на конкретных примерах систем уравнений. Рассмотрим обоснование способа алгебраического сложения (те­ орема 4 или 3-е свойство) на примере систем (1) и (2). Первый случай, когда исходная система (1) имеет решения. 1. Пусть есть решение системы (1), то есть I 2а + 33 — 5 = 0 | 2а + 3 3 - 5 = 0 1 З а - 2 ? - Л = 0 ’ 1 ( 2 а + Зр — 5)-2 + (За.— 2р — 1)3 = 0. Следовательно, всякое решение системы (1) является решением и системы ( 2 ). 2. Пусть | * 1 1 ^ есть решение системы (2), то есть / 2у + ЗД — 5 = 0 Г 2Т + ЗД — 5 = 0 1 (2Т + ЗД — 5)-2 + (3Т - 2 Д — 1) 3 = 0 ’ u l K >Ad \ з т _ 2Д - 1 = 0 - Следовательно, всякое решение системы (2) является решением системы ( 1 ). Второй случай, когда система (1) не имеет решений, легко дока­ зывается методом от противного. Б. Об изучении систем уравнений в 8-м классе I. Повторение теории равносильности систем уравнений На примерах систем уравнений повторяются следующие основные понятия: 1. Определение решения системы уравнений (определение 5). * 213