УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

ветствующие графики выполняются одним и тем же цветом. Ученики легко усваивают (видят), что графики уравнений — прямые, пересе­ кающиеся в одной точке М ( 1 , 1 ). Рассматривая различные пары уравнений, составляющие системы, легко выяснить, что все эти системы уравнений имеют одно и то же решение (1,1) и потому равносильны. Таким образом, получаем на глядное представление о равносильных системах как о таких, графики уравнений которых пересекаются в одной точке. Кроме наглядной графической иллюстрации, понятие равносиль­ ности систем разъясняется также на простейших примерах. П р и м е р ы : 1. Системы и { 2 х — ? равносиль­ ные, так как они имеют одно и то же решение j * 1 1 J . 2 . Системы j 2 х~+ 2 !у— 5 и ( 2jT— 2y — '5 Равносильные’ так как обе не имеют решений. 3. Системы уравнений ( л Т ^ 1 1 о и ( Х II а неравносильные, УX ~гу — Z \X ~г У — 4- так как имеют различные решения. На свойстве транзитивности (равносильности) систем уравнений (теорема ( 1 )) можно специально не останавливаться, а разъяснить его попутно тогда, когда в процессе решения получим цепочку рав­ носильных систем. Поэтому первым свойством систем, которое изу­ чается с учащимися, является теорема ( 2 ), формулируемая лишь для систем 2-х уравнений. Разъяснить это первое свойство можно при­ мерно так. Берется достаточно простой пример линейной системы (О решение которой { * 1 1 j легко находится способом подбора. После чего, преобразовав одно из уравнений в новое, ему равносильное, получим, например, систему | ^ . ^ у _ 2 В равносильности 1-й и 2-й систем убеждаемся путем проверки того, что единственное решение исходной системы ( 1 ) является так же и единственным решением выводной системы ( 2 ). Кроме того весьма убедительным и поучительным способом проверки равносиль ности систем уравнений ( 1 ) и ( 2 ) является графическое решение их при котором учащиеся наглядно убеждаются как в совпадении гра фиков равносильных уравнений, так и в их общей точке пересечения На этом же уроке, продолжая решать систему (2) способом подстановки, получим: { ^ х 9 (3); применяя 1 -е свойство систем ( X | X — / и еще раз подстановку, получим, наконец, (4). Равносильность (3) и (4) систем по отношению ко (2) устанав­ ливается аналогичным образом. Особое внимание обращается на графическую иллюстрацию равносильности этих систем. Для этого учитель заблаговременно изготавливает плакат (черт. 1 ); ученики выполняют такой чертеж в тетрадях. Решение системы способом подстановки у = 1 О II ч 1 >> 1 у = х у = X | , (2) о <3> х + у = 2 j X + у = 2 х + х = 2 X = 1 (4). 14* 211