УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

А. Об изучений систем уравнений в 7-м классе Из основных понятий в 7-м классе рассматриваются лишь опре­ деления 5, 6 и 8 , иллюстрируемые соответствующими примерами. (Формулировка определения 8 может быть дана без указания на об­ щую область определения). Определение 2 хотя и не дается, но смысл его разъясняется на примерах систем уравнений, не содержащих параметров. Формального определения системы и совокупности уравнений (определение 1 ), конечно, не дается, но оно разъясняется следующим образом: 1. Рассматриваются задачи, приводящие к одному уравнению с двумя неизвестными: Задача 1. Найти 2 числа, сумма которых 5. Задача 2. Найти 2 числа, разность которых 1. Соответствующие уравнения х + у = 5 и jc— у = 1 решаются подбором (составляется для каждого из них таблица значений х и у) и графически. 2. Рассматривается задача, объединяющая задачи 1 и 2. Задача 3. Найти 2 числа, сумма которых 5, а их разность 1. Используя ранее составленные таблицы значений неизвестных, а также графики уравнений, находим решения задачи 3, являющееся общим решением для задач 1 и 2 (je = 3; у = 2 ). 3. Разъясняется, что в задаче 3 уравнения х + у = 5 и х — —у = 1 рассматриваются совместно, то есть для них ищется общее решение, после чего дается понятие о системе уравнений как о двух или более уравнениях, рассматриваемых совместно. Дается соответ­ ствующая запись системы уравнений: Таким образом, в 7-м классе формально-логическое определение системы уравнений заменяется описанием, которое по сути дела включает в себя н$ только понятие системы, но и понятие о том, что значит решить систему и что такое решение системы. Более строгое в формально-логическом отношении построение теории, при­ веденное нами выше, возможно дать в 9-м классе. Учитель же любого класса должен знать то формально-логическое построение, которое он собирается методически обрабатывать для школы. Аналогично конкретно-индуктивным методом вводятся определе­ ния 5, 6 и 8 . Особое внимание мы обращаем на графическую иллюстрацию понятия равносильности систем уравнений (определение 8 ) и поня­ тия решения системы уравнений (определение 5), чтобы в дальней­ шем наиболее конкретно и образно можно было осмыслить учащимся способы решения систем (подстановки и алгебраического сложения). При этом ради краткости и простоты мы ограничимся рассмотрением лишь систем линейных уравнений, имеющих одно решение. Учащиеся еще при изучении одного уравнения с двумя неизвест­ ными усваивают, что решениями такого уравнения являются коорди­ наты точек его графика и что равносильные уравнения на графике изображаются одной и той же прямой. Далее при изучении системы уравнений они усваивают, что ре­ шением системы, если оно есть, являются координаты точки пере­ сечения графиков уравнений этой системы. После этого для создания у учащихся наглядного представления о равносильных системах уравнений берем уравнение пучка прямых, например, проходящих через точку М ( 1 , 1 ) у — 1 = k (х — 1 ) и, при­ давая различные значения /С= (0; ± 1; ± 2 ...), составляем ряд урав­ нений и строим их графики. Учитель должен иметь соответствующий плакат, красочно выполненный, где значения /С= 0 ; ± 1 ; ± 2 и соот­ 210