УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Второй случай. Система А не имеет решений (в общей области определения систем А В и С). Тогда вследствие равносильности систем С и Л система С также не имеет решений, а вследствие равносильности систем С и б не имеет решений и система В. Сле­ довательно, системы Л и В равносильные, как.не имеющие корней. Общий вывод: системы Л и В равносильные. З а м е ч а н и е . В журнале „Математика в школе", № 4, за 1957 год (стр. 93) Т. Н. Поляковой приведен пример уравнений х{х — 1 ) = О х — 1 = О х * ( х - 1)2 ■ = 0 , (A ) (B ) (C) л, В этой общей области ни одно из урав- X (х— 1 ) будто бы опровергающий справедливость аналогичной теоремы о транзитивности уравнений, рассматриваемой в книге [3]. Как в книге, так и в настоящей статье, когда речь идет о равносильности не­ скольких уравнений, мы рассматриваем все эти уравнения на их общей области определения. Применительно к уравнениям, приве­ денным Т. Н. Поляковой, общая область определения уравнений В и С будет | А ' 1 х ф \ нений Л, В и С корней не имеет, а потому они равносильны. Т. Н. Полякова рассматривала уравнения Л, В и С не в общей области определения всех 3-х уравнений, а лишь попарно, что и привело ее к кажущемуся опровержению теоремы 1 . Мы привели доказательство теоремы и рассмотрели попытку ее опровержения с целью разъяснения правильного ее понимания. След/ с твие . Если мы имеем п систем уравнений, причем пер­ вая равносильна второй, вторая равносильна третьей и т. д. п — 1 -я равносильна п- ой, то 1 -я и п- я системы уравнений равносильны. Само собой разумеется, что все п систем уравнений рассматри­ ваются на их общей области определения, как об этом говорится в определении равносильности систем уравнений. Т е о р е м а 2. Если соответствующие уравнения д в у х систем (совокупностей) уравнений попарно равносильны, то и системы (совокупности) этих уравнений равносильны. Т е о р е м а 3. (обосновывающая способ подстановки). Системы уравнений: y = f l ( x , u , - ' - z ) У —f \ (х, и, ••• z) f i (х ,у , •••£ ) = О fn{x,y,---z)= О / 2[ * , / , ( * , и,-• •z ) ,-- * z ]=0 /„[•*,/1 (■*>и, •.•«),•••«] =0 равносильны. Т е о р е м а 4. (обосновывающая способ алгебраического сло­ жения). Системы уравнений Л (х,у< f i ( x , y , /п(х,у, и) = 0 и) = 0 и) = 0 ( 1 ) 207