УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

они только и являются решениями системы этих уравнений Так же, как и одно уравнение, совокупность уравнений и систе­ ма уравнений могут не иметь решений, иметь конечное или беско­ нечное множество решений. Совокупность уравнений не будет иметь решений, очевидно, лишь тогда, когда их не имеет ни одно из уравнений совокупности. Например, совокупность уравнений Определение 6. Решить систему (совокупность) уравнений, зна­ чит найти все ее решения или установить, что их нет. Определение 7. Решить систему (совокупность) уравнений, со­ держащую параметры, — значит для каждой допустимой системы значений параметров надо найти все ее решения или установить, что их нет. Определение 8 . Две или более системы . (совокупности) уравне­ ний, рассматриваемые на их общей области определения , называют­ ся равносильными, если они не имеют решений или имеют одни и те же решения. П р и м е р ы : 1. Системы уравнений: также равносильны на их общей области определения х ф у , так как обе не имеют решений. Т е о р е м а 1. Если система уравнений А равносильна системе С (А со С) и система В равносильна системе С (В со С), то системы А и В равносильные (А со В). Приведенную краткую формулировку теоремы, выражающей свойство транзитивности равносильности систем (совокупностей) уравнений, надо понимать так: если имеется три системы (совокуп­ ности) уравнений, рассматриваемых на их общей области опреде­ ления, и какая-либо одна из них равносильна каждой из остальных, то эти остальные системы уравнений равносильны между собой. Д о к а з а т е л ь с т в о . Первый случай, когда система А имеет решения в общей области определения систем А, В и С. Тогда система С имеет те же решения, что и система А в силу их равно­ сильности, а в силу равносильности систем В и С и система В будет иметь те же решения, что и система А. Следовательно, системы А и В равносильные, так как имеют одни и те же решения. О X+у х-\-у = х-\-у-\- 1 не имеет решений. равносильны в их общей области определения: х — любое число УФ 2 , так как имеют одно и то же решение: v 2. Системы уравнений: 206