УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

8. Определение длины кривой линии (см. стр. 16—19). Здесь же разъясняются учащимся четыре свойства длин дуг кривых линий, аналогичные четырем свойствам длин отрезков пря­ мых линий (стр. 12). 9. Вывод формул для вычисления длины дуги окружности и длины окружности может быть различен. -г-» 1 Л - ^ПОЛОСЫ „ Если исходить из определения: I линии= lim —г ---- , то вывод h ►оо ^полосы формулы длины дуги окружности будет выглядеть так: ASz И (R + Д Д )2а — я/?2 а / 2nR а лД R а \ I = lim -- = l i m ---------------= lim ( ------ 1 ----- )= д/?-о Ш Д/?-*о 360-ДR дя~о \ 360 360 ) 2 ti R a -K.R а( = 360 = 180 ’ где а — величина дуги в градусах. Если взять другое выражение для площади сектора, а именно: = — /?2а, то получим la= R-a, где а — величина дуги в радианах. При а = 360° или 2тс (радиан), получим выражение для длины окруж­ ности C = l ^ = R - 2 k = 2 k R. Если исходить из второго определения длины кривой линии как предела последовательности периметров вписанных в нее ломаных линий (I линии= lim Рп), то формулу длины окружности можно вы- /г-*оо вести так: рассматривая последовательность получим wR2 = lim Sn = lim — P„-hn = — C-R, откуда C^=2 k R. oo 2 2 Аналогичным образом, предварительно доказав, что площадь круго­ вого сектора (Sa„) есть предел последовательности площадей_соот- ветствующим образом вписанных в него многоугольников (Q„), по­ лучим = { / . . « , о-УД» где Рп — периметр ломаной, вписанной в дугу окружности.^ Сравнивая два варианта вывода формул длины окружности и ее дуги, легко заметить значительно большую краткость и четкость изложения вторЬго варианта. Г Л А В А 3 ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР § 18. ИЗУЧЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ 1. Понятие о площади плоской фигуры Понятие о площади плоской фигуры на примере прямоугольника .с целыми измерениями формировалось у учащихся еще в курсе ариф­ метики начальной школы и в 5-м классе. 2* 19