УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

ностей площадей правильных вписанных и описанных многоуголь­ ников, получаемых при неограниченном удвоении числа их сторон. 1. Т е о р е м а : а) последовательность {£„} монотонно возрастаю­ щая, ограниченная сверху и имеет предел; б) последовательность + {£„} монотонно убывающая, ограниченная снизу и имеет предел. (Доказательство теорем 1а и 16 см. гл. 3, § 2). 2. lima„ = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим хорду как угодно малой длины s. Пусть ей соответствует центральный угол р°, опи­ рающийся на эту хорду. Стороне «-угольника а соответствует О 360° т , 360 . я . 369 центральный угол а = -- . Так как а = — < р при /г > — , то и П П р соответствующая ему хорда ап < е, следовательно,lima„ = 0. 3. limA„ = /?, так как R — hn < ^ < в. — 4* 4. limS„ = lim Sn= К, где К — площадь круга (доказательство П-*-оо см. гл. 3, § 2). 5. Т е о р е м а . Отношение площади круга к квадрату радиуса есть число постоянное для любых кругов const^ . Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть К\ и К2 — площади двух кругов радиусов R { и R2. Рассмотрим последовательности площадей пра­ вильных одноименных вписанных в круги многоугольников (5„)( и (Sn)2■ Так как одноименные правильные многоугольники подобны, (Sn), R\ П то к—^ - = — . Переходя к пределам, получим (Snh * lim (S„), lim (S„), Kx # i K2 ' . — или _L = = const. (Sn)3 lim(S„)2 K* *1 R\ R\ Обозначив постоянное отношение площади круга к квадрату его радиуса я, получим формулу для вычисления площади круга — = тс и АТ= тс/t*2. R 2 — + 6. Вычисление приближенного значения тс. Так как S„ < АТ< Sn, sn . к , sn sn . . sn то — < — < — или — < Тс< —^ . R 2 R 2 R 2 R 2 ^ R 2 - Для вычисления приближенного значения тс с точностью до единицы следует вычислить площадь правильного вписанного две- 12 надцатиугольника —R- sin 30° =?= 3R2 и описанного квадрата 4 R2, от- 3 R 2 4R2 куда находим, что< тс< —— или 3 < тс <; 4. Дальнейшее уточ­ нение значение тс и установление низких и высших его границ легко может быть разъяснено учащимся аналогично тому, как это сде­ лано в 1-м варианте. 7. Выводятся формулы площади сектора: а) = б) Sa = TtR2a 1 = —— = — R2a , где Sx — площадь сектора, центральный угол кото- 2п 2 рого а0 (формула а) и а радиан (формула б). См. гл. 3, § 2. 18