УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

ОС = lim Рп— lim Рп и является как бы идеально выпрямленной окружностью. На этом же чертеже совер­ шенно отчетливо усматривают- + ся соотношение Рп < С < Р п. После усвоения учащимися теоремы 6 в том виде, как она сформулирована нами, можно в классной или внеклассной обста­ новке в порядке дополнения разъяснить следующее: а) многоугольников рассматривать не правильные вписанные или описанные многоугольники и неограниченно увеличивать чис­ ло их сторон не путем удвоения, а произвольным образом, лишь бы длины всех сторон стремились к нулю, то предел периметров таких многоугольников будет тот же С. (Доказательство этого пред­ ложения см.: Ж. Ад а м а р. Элементарная геометрия, ч. 1, § 177); $ = 8R Чертеж 66. б) что такие обобщения не могут простираться на произволь­ ные ломаные линии (многоугольники). Для этого достаточно рас­ смотреть звездчатую ломаную линию, полувписанную в окружность (см. чертеж 7), где легко установить, что между периметром звезд­ чатого 12-угольника ABCDEFGHKMNP (Язв) и вписанного шести­ угольника ACEGKN (Я6) имеет место соотношение Рзв= P q " sec а, где а = /_САВ. При неограниченном возрастании числа сторон вписанного и звездчатого многоугольников и неизменном угле а между их сто­ ронами получим lim Я(звезд) = lim Рп sec а = С- sec а, где С — длина окружность. Таким образом, предел последовательности периметров вписан­ ных многоугольников не совпадает с пределом последовательности периметров звездчатых (полувписанных) многоугольников. Их отно- lim Рзд шение равно sec а = lim р . При а = 60 это отношение равно 2; в) разъясняется учащимся, что аппроксимирующая ломаная линия, предельное значение длины которой совпадает с истинным значением длины аппроксимируемой кривой, должна удовлетворять следующим двум требованиям: 1. Ломаная должна приближаться к кривой по положению. Это означает, что расстояния между любыми точками звена ломаной (АВ) и соответствующей дуги (АС) должно стремиться к нулю. р р С р ? гп 16