УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

З а м е ч а н и я : 1. При исследовании всех 1—12 функций необхо­ димо постоянно следить за изменением формы данной пирамиды (черт. 37). При а = 0° н а = 90° пирамида не существует и поэтому говорить о значениях всех 1 — 1 2 функций в этих точках не имеет смысла, можно лишь рассматривать их пределы при а —*0° и а —*90°. 2. При а —>0 основание пирамиды неограниченно увеличивается, а высота ее всегда больше — , поэтому поверхность и объем пи- 3 рамиды неограниченно увеличиваются. При а —+90° высота пирамиды увеличивается неограниченно, а основание стремится к правильному треугольнику с высотой d, по­ этому поверхность и объем пирамиды неограниченно увеличиваются. Из этого следует, что при некоторых значениях а в интервале (0°, 90°) пирамида имеет такие размеры, при которых элементы пи­ рамиды достигают минимальных значений. Так, при а = 45° — минимума достигает апофема пирамиды; при — 1/~3~ а = arc tg V2 = arc cos *-g—« 54°44' — минимума достигают боковое ребро, боковая поверхность и объем пирамиды; при а = 60° — мини- i/~ з _ 1 мума достигает полная поверхность; при а = arc cos « 66°30' — v 12 минимума достигает радиус описанного шара. 3. При исследовании всех 1—12 функций использовано понятие производной и ее геометрический смысл. Если промежутки возраста­ ния для некоторых функций, а также и их минимальные значения, можно найти и без производной, то для точности построения гра­ фиков всех функций без производной обойтись нельзя. И при определении точек минимума, и при установлении харак­ тера изменения функции в окрестностях точек 0° и 90°, когда в этих точках функции имеют конечные пределы, только понятие произ­ водной позволило точно отобразить этих функциональные зависи­ мости на графиках. Если производные от дробных и сложной функ­ ций не изучались, то следует-взять такую задачу и такие искомые величины, для которых может быть найдена производная. В данной задаче могут вызвать затруднение лишь функции 3 и 6 , а остальные вполне доступны, еоии исследовать переменную часть функции (зна­ менатель), как показано для функции 1 0 . После того, как перечисленные выше функции исследованы, можно обратить внимание на их зависимость между собой. Все эти функции являются различными элементами-величинами одной пространственной фигуры (данной пирамиды) и при изменении угла а все они одновременно изменяются, но по различным законо­ мерностям. 4. На этом примере следует подчеркнуть и ту мысль, что абстрактные функции, изучаемые в курсе алгебры, находят свое приложение и в геометрии. На примере только одной задачи пока­ зано 1 2 функций, а многообразие различных задач содержит беско­ нечное множество разнообразных и интересных функций-величин, представляющих реальные геометрические процессы. Из опыта работы следует сказать, что решение задач с иссле­ дованием на максимум и минимум, на возрастание и убывание и т. п. всегда вызывает огромный интерес и активность учащихся, а это главное условие успешной учебы. Исследование геометрических фигур в их изменении является важнейшим и наиболее действенным средством развития простран­ ственных представлений учащихся и усвоения ими существа мате­ матической науки, которое, по определению Энгельса, заключается 154