УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

< Н < оо. / / — возрастающая ограниченная снизу функция (черт. 38). 2. К = — -- -----= ■ 2dn При 0 < а < 4 5 ° < а < 9 0 ° и 0 < 2 а < 3sin х cos х 3 sin 2а < 90° < 2а < 180° имеем 0 < sin 2 а < 1 > sin 2а > 0 и оо > £ > — < 3 < k < оо, т. е. в (0°, 45°) /С убывает от оо до — , а на (45°, 90°) 3 Л’ — возрастает от- ^ до с о и при а = 45°, Кт\а = — (черт. 39). 3 3 3 . C = - ^ 1 si+ 2 aC°S2g (черт. 40). При 0 < а < 90° имеем 2 > > / 1 + 3 cos 2 а > 1 , а при а —>0, c-^qo и при а —*90°, с —<• оо. Значит, внутри интервала (0°, 90°) функции С имеет минимальное значение. Для отыскания минимума этой функции найдем С': 4d (1 — 2 cos 2 а — 3 cos 4 а) С' = 3 sin22а-к г + 3 COS2а Уз откуда при а = arc cos i-g- ж 54°44/, Cmin = d. 4. а = -- . Для 0 < а < 90° имеем 0 < s i n a < l и оо > а > У 3 sin а ' у з а — убывающая и ограниченная снизу функция (черт.41). 5. г = — -— . Для 0 < a < 90° будет 0 < — < 45° и 1> cos 2 — > 6cos2- 2 2 2 > — . Тогда — < г < — , значит, г — возрастающая и ограниченная 2 6 3 функция (черт. 42). 6. R = d (1 + з cos а) ^ 0 < a < 90° будем иметь 4 > 1 + 6-Sin2a-C0Sa " + 3 cos 2 a > l , а при а —»0 и а -^>90°, R —*oo. Значит, в интервале (0°, 90°) функция R имеет минимальные значения. j^ r __ d (1 — 6 COS2a — 3 COS4a) 6 Sin3 a cos2a | У 3 1 n ^ (У~ 3 Ч- 1 ) / л 04 откуда при а, = arc cos—g - - — — « 6 6 30, Rmm= — --- - (черт. 43). у 1 2 2 уТ 2 7. Q = —~ ----. Так как 0° < а < 90° и поэтому 0 < sin а < 1 , то У З -sin2а d2 o o > Q > - f =-, т . е. функция Q — убывающая и ограниченная снизу V з (черт. 44). d2 8. S — —= ------- . При а —»0° и а —>90°, 5 —»оо, следовательно, |/ 3 sin2a COS а функция 5 на интервале (0°, 90°) имеет минимальные значения. __ d2 (sin2а — 2 COS2а) К 3 Sin3а COS2а Значит, при а = arc tg У 2 ж 54°44' и Smin= J-d 2 (черт. 45). 9. 7’ ----- ------- . При а —*0° и а —>90°, Т —»оо, значит, на 2|/r 3"sin2— cos а 151