УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967
5. Т е о р е м а . Пределы последовательностей периметров пра- — + вильных вписанных и описанных {Я„} многоугольников при не ограниченном удвоении числа их сторон равны между собой. То есть lim Р п = lim Рп. П-+оо Д о к а з а т е л ь с т в о . lim Р? = lim = lim — = hm hn-—— = 1. lim Pn R UmR R — + Откуда limP„ = lim P n. (Предел частного, свойство отношения пери метров правильных подобных многоугольников и теорема о пределе апофемы). 6. Т е о р е м а . Длина окружности равна общему пределу после довательностей периметров правильных вписанных и описанных мно гоугольников при неограниченном' удвоении числа их сторон. Обозначим длину окружности С, тогда теорему запишем так: — + С = lim Рп = lim Рп. Теорема 6 следует из теоремы 5 и определения длины кривой линии. Так как факт совпадения пределов важен сам по себе, то мы сочли нужным ввести теорему 5 и соответствующим образом сфор мулировать теорему 6. Целесообразность этого мытакже усмотрим при нахождении границ числа тс. Методические замечания Перед тем, как вводить определение длины кривой линии, сле дует пояснить учащимся его практическую целесообразность (напом нив о приемах приближенного измерения длин кривых линий на местности, на карте и т. п.) и его логическую необходимость (не возможность измерения длины кривой путем откладывания на ней единичного отрезка). Кроме того, пункты 2—5 нашей схемы целесообразно конкре тизировать с помощью таблицы 1 (стр. 15) и чертежей 6-а, 6-6. Т а б л и ц а 1 п 180° ап— s in --- п 180° ьп= tg — Я 1 180° hn = 17 soc--- 2 п Р п— han 4* Рп = пЬп Р п - Р п + Рп 10 0,3090 6,3249 0,4756 3,090 3,249 0,159 1,051 20 0,1564 0,1584 0,4939 3,128 3,168 0,040 1,013 30 0,1045 0,1051 0,4973 3,135 3,153 0,018 1,006 40 0,0785 0,0787 0,4985 3,140 3,148 0,008 1,003 50 0,06.8 0,06292 0,4990 3,140 3,145 0,005 1,002 60 0,05234 , 0,05241 0,4993 3,1404 3,1446 0,0036 1,001 70 0,04487 0,04489 0,4995 3,1409 3,1437 0,0028 1,0009 80 0,03926 0,03929 0,4996 3,1409 3,1432 0,0023 1,0007 90 0,03490 0,03492 0,4997 3,1410 3,1428 0,0018 1,0006 100 0,031411 0,031426 0,4998 3,1411 3,1426 0,0015 1,0005 В самом деле, по таблице и чертежу 6-а учащиеся с достаточ" ной наглядностью и конкретностью могут наблюдать за характером изменения сторон ( ап и Ьп), апофем ( h n), периметров многоугольни- — + ков (Рп и Рп), а также за разностью и отношением периметров одно именных многоугольников. На чертеже 6-6 дано геометрическое — изображение членов последовательностей \Рп) и {Р„}. Здесь отрезок 15
Made with FlippingBook
RkJQdWJsaXNoZXIy ODQ5NTQ=