УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

1. Высота пирамиды: Н = ---- . 3 COS о 2. Апофема пирамиды: К = --------• 3 COS а • Sin а п d - V l + 3C0S2a 3. Боковое ребро пирамиды: С = 3sjnacosa • 2d 4. Сторона основания пирамиды: а = —г= --- . У З-sin а 5. Радиус вписанного шара: г— -- -—— . 6■cos2— 2 - „ 0 d ( l + 3cOS2a) 6 . Радиус описанного шара: R — -------- — 6 •sin2 а ■ COS а d 2 7. Площадь основания пирамиды: Q = —г= ---- . У 3-sin2a d 2 8 . Боковая поверхность пирамиды: s = —= -------- . Г VTsin 2 a-COSa , 2 d 2 cos2— 9. Полная поверхность пирамиды: Т ?= — =---------. Г У 3-sin2e-COS а d 3 10. Объем лирамиды: v — — =------------------ . 9 у З sin2a cos a 11. Плоский угол при вершине: 9 = 2arctg(l/3-cos а). 12. Двугранный угол при боковом ребре: х = 2 arc tg — 1. Таким образом, Ьеред нами 12 величин-функций, относильно каждой из которых можно поставить вопрос об исследовании их на возрастание и убывание, отыскание наибольших или наименьших значений и т. д. Проведем это исследование в следующем порядке. I. По смыслу задачи параметры а и d имеют следующие области допустимых- значений: а — значение углов от 0° до 90°, т. е. (0°; 90°); d — положительные числа, т. е. ( 0 ; оо). II. Пусть а — постоянная величина, a d — параметр-аргумент. Тогда 1—6 функции— линейные функции, 7—9 функции — квадратные функции, 1 0 функция третьей степени и 1 1 — 1 2 — независящие от d, т. е. постоянные. Так как тригонометрические функции острых углов числа поло­ жительные, то все 1 — 1 0 функции имеют при d положительный коэффициент, а это значит, что при возрастании d все 1 — 1 0 функ­ ций возрастающие от 0 до оо. При изменении d изменяются только линейные размеры задан­ ной пирамиды, а форма ее сохраняется, т. е. углы а, ср и х остаются постоянными. Следовательно, данная пирамида при изменении d и постоянном а претерпевает преобразование подобия, что видно из чертежа 36. " III. Пусть d — постоянная величина, а а — переменная, (т. е. параметр-аргумент). Тогда все 12 функций — различные функции от я. 1. Н — —-— . Так как для 0° < а < 90° имеем 1 > cos а > 0, то 3 cos о 149 /