УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

§ 7. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА. Вариант первый . 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 108 см3, а длина в три раза больше ширины. Найти измерения параллелепипеда, чтобы поверхность его была минимальной. 2. Исследовать функцию и построить график: у = х2— 2х4— 1 . Вариант второй. 1. На изготовление цилиндрического ведра можно израсходо­ вать 192тс см? жести. Каковы должны быть размеры цилиндра, чтобы объем его был максимальным? 2. Исследовать функцию и построить ее график: у = 2х + хэ— X s. \ § 8. ПРИЛОЖЕНИЯ „ПРОИЗВОДНОЙ" В ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Наиболее ярко идеи пределов ифункциональной зависимости отра­ жаются при исследовании в геометрии пространственных форм, когда при изменении одного параметра изменяются несколько различных ве­ личин: объемы, поверхности, периметры, длины отрезков, углы и т. п. Несмотря на сложность пространственных конструкций, геомет­ рические процессы обладают наглядностью и возможностью точных вычислений, поэтому они близки и доступны для понимания и чет­ кого формирования основных понятий. Рекомендуя геометрические примеры для исследовия, проф. А. Я. Хинчин указывал, что при этом „учащиеся сразу будут иметь перед своим взором большое число участвующих в одном и том же процессе переменных величин самого разнообразного поведения... Здесь будут и бесконечно! малые, и бесконечно большие, и посто­ янные и величины с положительными пределами. Никак не следует жалеть времени на столь детальное изучение одного примера, ибо воспитательный эффект такого изучения намного превысит то, что могло бы получиться в результате рассмотрения десятка разрознен­ ных, искусственных и лишенных наглядности примеров. Мы в о со ­ бенности подчеркиваем значение того обстоятельства, что в нашем примере изучаемые переменные величины участвуют в одном и том же процессе и таким образом изменения их взаимно координиро­ ваны, функционально связаны между собою; даже если это обстоя­ тельство не будет явно подчеркнуто учителем, продолжительное сосредоточение мысли учащихся на таком конкретном явлении не­ сомненно окажет значительное развивающее воздействие, приучая мысль ассоциировать отвлеченные понятия теории пределов со слож­ ными и многообразными процессами реальной действительности"*. Рассмотрим для примера одну из многочисленных задач по гео­ метрии с применением тригонометрии: „В правильной треугольной пирамиде апофема с плоскостью основания образуют угол а, а расстояние от вершины основания до боковой грани равно du. Найдем выражение в общем виде для следующих величин за­ данной пирамиды: * А. Я. X и н ч и н. Основные понятия математики в средней школе. „Матема­ тика в школе", № 4, за 1939 год, стр. 21. 148