УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Следовательно, нами исследует­ ся на максимум объем конуса, по­ этому найдем его аналитическое вы­ ражение: V = — nr2/i. 3 В этой формуле переменных две — г и h; нужно одну из них ис­ ключить, чтобы исследуемая вели­ чина была функцией от одной неза­ висимой переменной. А. Так как конус вписан в шар; радиуса R, то между его высотой и радиусом основания имеет место за- По смыслу задачи при Л, = 0 будет 1Лшп= 0. Покажем, что при 59. В шар, радиус которого 10 см. вписана правильная прямоугольная пирамида максимального объема. Какую часть объема шара занимает эта пирамида? 60. Около шара радиуса 1 м описан конус (правильная четырехугольная пира­ мида) минимального объема (или поверхности). Найти этот объем (или поверхность). 61. В шар радиуса R вписан цилиндр (шестиугольная призма) максимального объема. Найти этот объем. 62. В данный конус вписан цилиндр максимального объема. Найти отношение объемов конуса и цилиндра. 63. Одновременно из пункта А по направлению к С вылетел самолет со скоро­ стью 800 км/час и из пункта В в противоположную от точки С сторону вылетел другой самолет со скоростью 400 км/час. Через сколько времени между ними будет минимальное расстояние и какое, если АС = 1200 км, ВС = 100км и / _ А С В — 120°. 64. Сечение канала представляет собой равнобочную трапецию, нижнее осно­ вание (дно), которой 5 м и боковые стороны 5 м (ширина боковых стен). Каково должно быть верхнее основание трапеции, чтобы площадь ее была наибольшей, а значит и емкость канала максимальной? Какова при этом глубина канала, и угол наклона боковых стен к горизонту? висимость: Чертеж 35. Г 2 = h (2 R - Л), тогда '-2 ( 2 R — h) = - (2Rh- - Л3). iK. 3 N х Б. I/' = ~ (4Rh — ЗЛ2) = ^ h (4/? — 3//). 3 3 V' = 0 при hx ==0 и h2= ~ R. h2= —R будет максимум V . О Для h < — R, т. е. 3 h < 4 R получим V' > 0; О для h > — R, т. е. 3 h > 4 R получим V' < 0, 3 что и требуется для максимума. 4 В. Конус максимального объема будет иметь высоту — h = — R, ’ * О Задачи для упражнений 10* 147