УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

где АХС = 100 — 30/, а ВгС — 200 — 45/, тогда у = К(100 - 30/)2+ (200 - 45/)2- (100 - 300-(200 - 45/) = = 5-]^3(21/2- 180/ +^400). 7/ — 30 n , 30 Б. У = 45- V 3.(21/2 — 180/+ 400) При t часа S' = 0. d п / зо . 2 В. При/ = — = 4 — часа 7 7 И У min = А2В2 = 32,7 км. АА2 = 128 — км; ВВп = 192— км 7 ' 7 Л П р и м е ч а н и е . Что при / = 4 — — достигает именно min, можно убе- 30 диться обычным исследованием знака производной; так при / < — , у ' < 0 , а при 30 / > — , _у'> 0 , что и требуется для минимума. З а д а ч а 4. На каком рассто­ янии от стола следует подвесить источник света, чтобы на краю стола была наибольшая освещен­ ность. Стол круглый радиуса г, а источник света висит над центром стола (черт. 34). I. Известно, что освещенность прямо пропорциональна силе света и синусу угла между направле­ нием лучей и освещаемой площад­ кой, и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света, т. е. F-sin V / Чертеж 34. £ = /2 Но нам желательно найти функцию Е от переменной х, поэтому х , тогда получим заменим е = ]/г2+ х2 и sin ср= Е = , А 2 — 2 * 2 V Г2+X2 Fx (У г 2 + ** ) 3 II. Е ' (V /-2+Х2)5 Р Е' —О при х2— -я-, или х = г--+ 0,7 г. Для проверки можно взять х < 2 менатель Е' положителен для любого х, значит Е' > 0. Для У~2 х > g— г, г 2 — 2 х 2 < 0 ; значит, £ ' < 0 , что подтверждает Z w К " 2 при X = Г 2 ■ . З а д а ч а 5. В шар радиуса R вписать конус максимального объема. Это значит, что нужно найти размеры конуса вписанного в шар, при которых его объем будет наибольшим (черт. 35). 146