УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Д CBD имеем BE2— E D -ЕС, т. е. (-^-^ = (2R — H ) H . Следовательно, С2 - = AH(2R — Н). Или С = 2-]А H (2R — H). Тогда S = H-V Н (2R — Н). 2 R - 2 H S' = K Н (2R — Н) + Н- 2V Я (27?- Я ) 2RH — Н 2+ RH — Н 2 3RH— 2H2) V H ( 2 R - H ) S' = 0 при Я , = О и Я 3 = — R. Ну => 0 не подходит, тогда при Я 2 R, С = 2-1 / Ж ( м _ Ж ) - и У з и S„ V 2 V 2 ) з У з R 2- Задачи для упражнений 49. Найти стороны прямоугольника, вписанного в круг радиуса R, когда его площадь будет наибольшей. 50. В остроугольный треугольник с основанием а и высотой h вписан прямо­ угольник так, что две его вершины лежат на основании, а две другие на боковых сторонах треугольника. Найти стороны прямоугольника, когда площадь его будет максимальной. 51. Около круга радиуса R описан равнобедренный треугольник. Найти пло­ щадь треугольника, когда она будет минимальной. (Аналогичноч>тносительно пери­ метра треугольника). • 52. Из проволоки, длиной /, сделать прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь? 53. Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющего объем 576 дм3, длину вдвое больше ширины и минимальную полную поверхность. 54. Требуется сделать цилиндр с обоими основаниями. Каковы должны быть соотношения между радиусом основания и высотой цилиндра, чтобы при заданном объеме V поверхность его была наименьшей (или при заданной поверхности его S, объем был бы наибольший)? 55. Объем цилиндра гавен 250 дм3. Найти его радиус и высоту, если полная поверхность его минимальная. 56. Боковая поверхность конуса равна 2 5 У 3-% дм2. Найти его радиус осно­ вания при максимальном объеме. 57. Боковое ребро правильной п — угольной пирамиды равно 10 см. Опре­ делить угол между этим ребром и плоскостью основания, когда объем пирамиды наибольший. 58. Образующая конической воронки равна 40 см. Определить высоту этой воронки, чтобы объем ее был наибольшим. З а д а ч а 3. Из точек А и В одновременно вышли корабли по направлению к точке С, при чем из пункта А со скоростью 30 км/час, а из пункта В — со скоростью 45 км/час. Расстояние Л 5 = 1 0 0 км, ВС = 200 км, а / АСВ = 60°. Через сколько часов корабли будут на минимальном расстоянии друг от друга и чему это расстояние рав­ но? (черт. 33). А. Найдем формулу исследуе­ мой функции. Через t часов рас­ стояние между кораблями будет равно АуВх= у , которое найдем из ААуВуСу. V= ] /Д С 2+ ВуС2- 2-АуС-ВуС-cos 60°, Б-142.—10 145