УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

По смыслу задачи х может принять значение в пределах от О до 15 см, т. е. область определения функциями — (0,15). Найдем производную и критические значения х. V' = (48 - 2х)•(30 — 2х) + х ( - 2 ) (30 - 2 х ) + х (48 - 2х) ( - 2) = = 12•(х 2 — 26л: + 120). V = 0 при хх = 6 и х2= 20, причем х2 выходит за пределы допустимых значений х, поэтому испытанию подлежит лишь х, = 6 . Для х из (0; 6 ), у' = 12(л: — 6 ) -(л: - 20) > 0, значит, при увеличении х от 0 до 6 объем возрастет. Для х с из ( 6 ; 15), у ' < 0, значит, при увеличе­ нии х от 6 до 15 объем уменьшается. Следовательно, при х = 6 данная функция у достигает максимума, равно­ го 6-36*18 = 3888 см3. З а д а ч а 2. Из круга, радиус кото­ рого R, требуется вырезать равнобед­ ренный треугольник наибольшей пло­ щади. А. Найдем формулу исследуемой функции, т.- е. площади равнобедренно­ го треугольника. Пусть угол при осно­ вании треугольника будет х, тогда /_А С В = 180 — 2л: (черт. 32). Площадь ААВС м ож н о выразить формулой: Чертеж 32. с 1 5 = —-a-c-sin х, 2 а по лемме к теореме синусов найдем a = 2R sin х и с = 2R sin (180 — 2х). Следовательно, 5 = ~ 2R sinx-2P sin 2х- sin х = 2 R2 sin2x sin 2х. Б. Найдем экстремумы функции S, где х изменяется от 0° до 90° S' = 2R- [2 sin x*cosx-sin 2х + sin 2 х-2-cos 2х] = = 4 R2 sin 2 X ’ [4 cos2x — 1]. S' = 0 при Xj = 0° и х 2 = 60°. j При Xj = 0° 5 = 0, следовательно, это min. По смыслу задачи при х 2 = 60° будет max, это можно про­ верить обычным приемом. Для 0° < х < 60°, c o s x > — , значит, 4cos 2 x > 1, следовательно, sr > о. 2 Для 60° < х < 90°, cos х < — , значит, 4cos 2 x < l , следователь­ но, S' < 0. З У 3 Значит, при х = 60° имеет место max 5, равный —^— R2. Так, равнобедренный треугольник, вписанный в круг, имеет мак­ симальную площадь тогда, когда он правильный. П р и м е ч а н и е . Эту задачу можно было бы решить без тригонометрии. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, т. е. Здесь С и Я — переменные. Необходимо привести функцию к одной переменной. Для этого выразим С через И (или наоборот), используя данный радиус круга. Из 144