УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Возьмем точку х = 3, при 4х 4-3 этом у = -----= ------= 1 , 2 . ^ \+ х2 1+9 Пусть h — 0,5, тогда /(2,5) = 10 14 ==_7^25' И/(3,5) = ‘ В Д ’ ’ 3 их среднее арифметическое будет равно: 1 / ’ 10 14 \_ 2 ' V 7,25 + 13,25 У 1872 1537 , = 1,2114...- Чертеж 30. Следовательно, кривая в окрестности рассматриваемой /очки обращена вогнутостью вверх (или выпукла вниз), а это существенно уточняет график данной кривой. Аналогично этому дополнительное исследование полезно выполнить в примере 3 в окрестности точки х = 10 , где / ( 8 ) + / ( 12 ) / (10) = 0,665, а -—-- -----= 0,83.... Значит, и эта кривая на рассматриваемом участке выпукла вниз (черт. 27). § 6. РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ Большое практическое значение математического анализа заклю­ чается в том, что приложение его позволяет решать общим методом различные прикладные задачи, так называемые задачи на максимум и минимум. Суть этих задач заключается в том, что отыскивается наивыгоднейшее решение поставленного вопроса, например, найти форму сосуда минимальной поверхности, но максимального объема и т. п. Метод решения всех этих задач одинаков, рассмотрим его на примере следующей задачи. З а д а ч а 1. Из прямоугольного железного листа, размеры кото­ рого 48 см и 30 см, сделана прямоугольная коробка (без крышки). Каковы должны быть ее разме­ ры, чтобы объем коробки был максимальный? Для изготовления коробки придется по углам листа выре­ зать квадраты с о стороной х, а затем загнуть боковые стенки (черт. 31). Чтобы решить зада­ чу, необходимо найти формулу исследуемой величины. В данном случае объем прямоугольного параллелепипеда может быть найден, как произведение его измерений. Измерение данной коробки легко выражается че­ рез х, поэтому V = х •(48 - 2х) •(30 - 2х). Теперь остается найти эк­ стремумы этой функции и выяс­ нить, при каком значении х объ­ ем будет максимумом. 143