УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

П р и м е ч а н и я . 1. Хорошие навыки в построении графиков функции нужны не только для правильной иллюстрации функциональной зависимости. В большой степени они нужны для графического решения уравнений, систем уравнений и не­ равенств. Значение графиков повышается главным образом тогда, когда они приме­ няются к решению таких уравнений, аналитического решения которых найти не удается или оно очень затруднительно. Для практики оказывается вполне достаточным приближенное графическое решение, которое при необходимости всегда может быть найдено с достаточной степенью точности исследованием поведения функции в окрестности корня функции. Поэтому графическому решению уравнений следует уделить специальное время на уроках и алгебры, и тригонометрии. 2. При исследовании функции с помощью производной мы встречаемся с ре­ шением уравнения у ' = 0. Этот факт ставит перед нами серьезное затруднение. Мы не сможем провести исследование функции, если не решим указанного уравнения, а в школе решить аналитически любое уравнение невозможно. Значит, для иссле­ дования в школьных условиях допустимы лишь те функции, для которых уравнения у ' = 0 попадают в класс уравнений, рассматриваемых программой средней школы. В случае невозможности аналитического решения уравнений на помощь можно привлечь графики. Чтобы найти корни производных, нужно построить их графики. Это можно сделать сочетая метод производных с построением графиков по точкам и метод проб. Для решения поставленной задачи, в случаях даже сложной функции, графики окажут неоценимую услугу, а своей наглядностью подскажут неожиданное решение или подтвердят найденное решение и тем самым вселят уверенность в проделанной \ Примеры для упражнений 46. Исследовать функции и построить графики: X 4 а) у = -— — 2х2+ 3; б) у = 2х4— х2 + 1; 4 в) у = хъ— х3— 2х; г) у = (х2— I)3; 1 * --ГГ> - е ) у = х х (х — 1) * ^ З х — 1 х3 1 Ж>У = 2 (х "+ I)2’ з) J = sinx + — sin 2 x на [ 0 ; я]. 47. Решить уравнения (найти действительные корни): а) Зх2- х 3— 5 = 0; б) ~ - 2х + 2 = 0; в) 0,25 je* - — х3— Зх2+ 10 = 0. 16 3 48. На одном чертеже построить графики функции и ее производной. х* \3х3 х 4 П х 3 а| 6 ) ^ - « - т г + , -2' г+4; .) У-2 + 0 & - Ш - - 0,01 1 „ у - '■ *■ 75 80 30 40 ’ X4 X3 X3 X2 д) У = — — — — Зх2 + 15; е) у = — — — — 6х + 2; ж) у = 4 sin х + cos 2х в (0; 2%). Д о п о л н е н и е . Часто для более точного вычерчивания графика функции •желательно знать направление вогнутости кривой в окрестности данной точки. С исчерпывающей полнотой этот вопрос разрешается лишь с помощью второй производной. Поскольку вопрос исследования вогнутости в программу не входит, то мы рассмотрим элементарное решение этого вопроса для некоторых частных случаев. Из черт. 30 видно, что если / ( х , ) < ' ^ ^ -- + h\ то в точке х { — кривая вогнута вверх или выпукла вниз, а если / (х2) > ~ ^ + ^ , то в точке Л'а—•кривая вогнута вниз или выпукла вверх. Так, в примере 1 (§ 5, тема 6 — „Исследование функции") имеет смысл уточ­ нить поведение функции или вид кривой в окрестности точек с х ] > 2 . 14 2