УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

IV. Данная функция нечетная, т. к.: / \ 4 (— х) 4х у (— х) = — ---— = ------- 1 + ( - л :)2 1 + х 2 V. 'Данная функция ограниченная: При х > 0, имеем ^ > 0 и, при х- lim_y = 0. = ~У(х). ■ оо, сверху, т. к. При х < 0 , имеем у .< О и, при х Нетрудно показать, что — 2 < 4х 2 < 4х 1 + л -2 — оо, у —> 0 . < 2 . В самом деле, 4х , или 2 ( х+1 ) > О, что безусловно верно; 2 > - ---—, 1 + X2 1 + хг или 2 ( х — 1) 2 > 0 , что безусловно верно. В данном случае ось х-ов служит асимптотой функции. При х — 0 и у = 0, значит, кривая проходит через начало координат. Порядок построения графика: а) В системе прямоугольных координат строим точки, в кото­ рых функция достигает экстремумов: ( 1 ; 2 ) и (— 1 ; — 2 ). б) В этих точках проводим прямые, соответствующие касатель­ ным к кривой (пунктиром и параллельно оси А'-ов). в) Строим несколько контрольных точек при X равном: + — ; +2; + 3 и ±4 . - 2 - - - г) Затем, с учетом свойств, выявленных в исследовании, делаем набросок кривой, которая и будет графиком данной функции. Точность этого графика, конечно, относительная, но принци­ пиально он верен (черт. 27). Примеры для упражнений 45. Исследовать функции и построить их графики: 1 13 а ) у = 7 -<5 — ~ х3— 36 л : — 2; б) у = sin 2x-cos2^ х в{0; я]; 5 3 5 \2 , , х2 + х в) у А'3 /А'-»- \2 ' - - ■ ( — j ~ 1; г) у = X2 + X + 1 140