УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

и стремлении каждого из них к нулю. Доказательство существования и единственности упомянутых пределов может быть опущено или заимствовано, например, из книги А. И. Фетисова „Геометрия". Таким образом, намечается два варианта вывода формулы длины окружности: первый, когда длина кривой вводится как предел после­ довательности периметров вписанных ломаных линий, и второй, когда длина кривой определяется как предел отношения площади соот­ ветствующей полосы к ее ширине. Рассмотрим возможную реализацию каждого варианта. Первый вариант изложения (Схема изложения материала) 1. Рассматриваются теоремы (леммы): а) выпуклая ломаная меньше всякой другой ломаной, объемлю­ щей первую; б) периметр выпуклого многоугольника меньше периметра вся­ кого другого многоугольника, объемлющего первый (А. П. Ки с е ­ лев. Учебник геометрии, §§ 232 и 233). 2. Рассматриваются теоремы о последовательностях периметров вписанных в окружность и описанных около нее многоугольников: а) последовательность периметров правильных вписанных мно­ гоугольников {P„} при неограниченном удвоении числа их сторон монотонно возрастает, ограничена сверху и имеет предел. Монотонное возрастание (Рп < Яя+1) и ограниченность (Рп < 8 R) указанной в теореме 2-а последовательности следует из тео­ ремы 16, существование же ее предела следует из признака Вейер- штрасса (А. П. Ки с е л е в . Геометрия, ч. 1, § 229); б) последовательность периметров правильных описанных много- И- угольников \Рп) при неограниченном удвоении числа их сторон мо­ нотонно убывает, ограничена снизу и имеет предел. Теорема 2-6 также является простым следствием теоремы 1-6 и признака Вейерштрасса. 3. Т е о р е м а . Предел последовательности {ап) длин сторон пра­ вильных вписанных м-ногоуг >льников при неограниченном удвоении их числа равен нулю, то есть lima„ = 0. П— оо Рп № № В самом деле, а — — < — < е при п > — , следовательно, IX tt 6 lim ап = 0. (Здесь Рп— периметр вписан­ ного п — угольника, 8R — периметр опи­ санного квадрата около круга радиуса R и е — произвольное как угодно малое положительное число). 4. Т е о р е м а . Предел последова­ тельности { hn\ апофем правильных впи­ санных многоугольников при неограни­ ченном удвоении числа их сторон, ра­ вен радиусу описанной окружности (lim hn= R). П -+ оо Д о к а з а т е л ь с т в о . Из чертежа 5 и теоремы 3 следует R — h.n < a-£<s, откуда lim hn= R. 14