УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

будет шах. В (0: 1) у ' < О; В (1; оо) .у' > 0; значит, п р и х = 1 — будет min. В . _Ушах == 2, 3 у min == 2. Г. При х = 0,5 у = 2,5, а при л = 3 у = 3— . о Выв о д . На [0,5; 3] наименьшее значение у = 2 при х = 1 и наибольшее значение ,у = 3— при х = 3 (черт. 25). 3 2 8 П р и м е р 3. Найти экстремумы функции у = —— -— — . Данная функция определена для всех х, кроме х = 0 и х = 4. 6 (х + 4) А . у ' = - ± + 8 < ' - т ) На х 2 (х — 4 )2 х 2 (X — 4 )2 4 у ' = 0 при Ху = — 4 и, х 2 = — . 3 Б. Интервалы монотонности: (— оо; — 4); (— 4; 0); ^0; —^ ; ( | ; 4); (4; оо). На (— оо; — 4 ) _ у ' > 0 , значит, у — возрастает. На (— 4; 0 ) _ у ' < 0 , значит, у — убывает. В точке х, = — 4 дан­ ная функция имеет max. На ^0; у ) у ' < 0, значит, у — убывает. ("5"’ У ''*® ' значит, ^ — возрастает. В точке х2 = -j данная функция имеет min. На (4; оо) v ' > 0 , значит, у — возрастает. г, 1 < 1 В. у тлх = — И у min = 4-j . П р и м е ч а н и е . Отыскание экстремумов функции больших затруднений не представляет, но важность этой задачи проявляется при построении графиков функции. Если правильно построен график функции, то задача исследования функции решена полностью. Поэтому отыскание экстремумов и наибольших и наименьших значений—.это подготовительная работа к построению графиков функции. Мы и теперь сопровождаем решение примеров на экстремумы чертежами, однако делаем это только для иллюстрации и некоторой пропедевтики. Для данной функции у = 2 (3л' +-4^-■ решая неравенство х ( 4 — х) Зх + 4 ^ ^ находим, что при х <С— ~ и при 0 < х < 4 будет х (4 — х) 3 у > 0 , значит, в —: 0 ^ и (4:оо) будет у < 0 . При х —* оо у —»0 (снизу).При х —»0 слева, у —♦— оо. При х —>•— оо _у—>0 (сверху).При х —»0 справа, у —*со. Пои х = — — у = 0 * При х —»4 слева, у ^ оо. " 3 При х —>4 справа , у * оо. Для уточнения графика следует взять несколько контрольных точек, например, при х, равных ± 6 ; ± 2 ; ± 1 (см. черт. 26). Примеры для упражнений 42. Найти наибольшее значение функции: 3/ ------------ а) у = х 4 — 8 х 2 + 6 на [— 4; 3]; б) у = (х —7) • у х + 1 на [—2; 5]. 137