УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

V. Наименьшие и наибольшие значения функции П р и м е р 1 . функции у = -Ц- Определить наименьшее и наибольшее значение — ---^ - + 4 на промежутке [— 3; 4]. Для решения этой задачи следует найти все экстремумы данной функции в указанном промежутке, а также найти значения функции на концах промежутка и выбрать наименьшее и наибольшее из них. х* ~5~ У ' = 6x2 = — (х + 2)-(х-3). 5 5 5 Критические значения: х х = — 2 , х 2 — 0 и х 3 = 3. В (— оо; — 2) у ' > 0. В (— 2; 0) у '< ; 0 ; значит при х = — 2 будет шах. В (0; 3 ) _ у ' <0 ; значит, прих = 0 — точка перегиба. В (3; оо)_у ' > 0;;значит, при х — 3 — будет min. з .Ушах — > У min = 1 .1 3 . Найдем значения функции на границах указанного промежутка. При х = 3 ’ у = 1,03, а при х = 4 _у = 6 — . 25 Наибольшее значение равно 6 —, наибольшее— (—1,13) (черт. 24). 25 . П р и м е ч а н и е . На данном примере показана разница в понятиях наибольшее и наименьшее значение функции и максимум и минимум функции. Максимумы и минимумы функции являются понятиями относительными, связанными с окрестно­ стями исследуемых точек. Может случиться, что максимум функции окажется мень­ ше минимума функции. П р и м е р 2. Найти наименьшее и наибольшее значение функции у = .к + на [0,5; 3]. Область определения функции: (— оо; 0) и (0; оо). А у = 1 ' -- ^ _у/ = 0 прил : 1 = — 1 и х 2 = \. Б. Интервалы монотонности: (— оо; — 1); (— 1; 0); (0; 1) и (1;оо). В (— оо; — 1 ) у ’ > 0. В (— 1; 0) ^ ' < 0 , значит, при х = — 1— 136