УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

О п р е д е л е н и е ми ниму ма . Значение функции f (а) назы­ вается минимумом функции y = f ( x ) , если для любого х вблизи точки а (как слева, так справа) f(a ) < f (x ) . Точка а называется точкой минимума функции (черт. 20). Основным признаком, харак­ теризующим существование минимума функции в точке а , является переход функции от убывания к возрастанию. Порядок определения экстремумов A. Найти критические значения аргумента данной функции. Для этого надо найти производную (необходимые признаки экстремумов) и: а) найти х, для которых у ' = 0 ; б) найти х, для которых у' = оо. Б. Найти знаки, производной на интервалах монотонности и по характеру изменения функции установить вид экстремума (доста­ точные признаки экстремумов): а) Если производная меняет знак с + на — , то в исследуемой точке будет максимум. б) Если производная меняет знак с — на + , то в исследуемой точке будет минимум. в) Если производная в окрестности критической точки знака не меняет, то экстремума , нет. Функция продолжает либо возрастать, либо убывать; касательная переходит на другую сторону кривой. В такой критической точке происходит'перегиб кривой, а крити­ ческая точка называется точкой перегиба. B. Вычислить экстремумы. П р и м е р 1. Найти экстремумы функции у — х3 — Зх2 — 9х + 10. A) у' = Зх2 — бл — 9; х2 — 2х — 3 — 0, откуда = — 1 и х2= 3. Б) Для JC< — 1, у ' = 3 ( х+ 1 ) ( Х - 3 ) > 0 ; для — 1 < х < 3, у ' < 0 ; для л: > 3, / > 0 . Значит в окрестности л: = — 1 производная меняет знак + на —, т. е. при х=\ функция имеет максимум. В точке х = 3 функция имеет минимум. B) Ушах= ( - I ) 3 - 3 ( - I ) 2 + 9 + 10 = 15; ут,п = З 3 - З-З 2 - 9-3 + + 10= — 17. х ® Пр име р 2. Найти экстремумы функции у — ----— -+ 1. 5 3 А) у ' = х4 — 4х 2 = л ;2 (х 2 — 4); у ' = 0 при х х = — 2; х2= 0 и х3= 2. Конечных значений х, при которых у ' = + оо нет, поэтому других критических значений л: — нет. Б) Найдем знак .у' в интервалах (— оо; — 2); (— 2; 0); (0; 2) и (2; оо). Для х из (— оо; — 2) легко видеть, что у ' = х2(х2 — 4) > 0. Для х из (— 2; 0) х2 — 4 < 0, значит, у ' < 0; Для х из (0; 2) х2 — 4 < 0, значит, у ' < 0; Для л: из (2; оо) х2 — 4 > 0, значит, у ' > 0. Результаты эти можно представить таблицей: Значения х: . . . — 2 . . . 0 . . . 2 . . . Знак у ' = X2(х2— 4) + + + 0 ------ 0 ------ 0 + + + Характер измене­ ния функции Воз­ растает шах 4 Убывает Точка перегиба Убывает min 4 ~ 315 Воз­ растает 133