УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Естественным продолжением данной задачи является установле­ ние значений функции на границах интервалов монотонности, т. е. В этих критических точках касательные параллельны оси Х-ов, что позволяет нарисовать принципиальный график исследуемой функ­ ции (черт. 18). 38. Найти интервалы монотонности и установить характер изменения на них для следующих функций: (Впервые этот вопрос был разработан П. Ферма и Р. Декартом в 1629-30 г.) При исследовании функции на возрастание и убывание устанав­ ливаются интервалы монотонности, границы которых мы назвали критическими точками. Для исследования функций часто представляют большой интерес значения функций в критических точках. Эти значения функции отделяют возрастающие ординаты от убывающих или, наоборот, и являются „крайними" в интервалах монотонности. В анализе эти „крайние" значения функции называются экстремальными значениями, или экстремумами функции. Экстремумы функции бывают двух видов: максимумы и минимумы *. О п р е д е л е н и е м а к с и м у м а . Значение функции / ( а ) назы­ вается максимумом функции y = f ( x ) , если для любых х, близких к а (как справа, так и слева), / ( а ) > / ( х ) . Точка а называется точкой максимума (черт. 19). Основным признаком, характеризующим существование макси­ мума функции в точке а, является переход функции от возрастания к убыванию. -У(-п— 2 ^ и У ( 2 ) ~ ~ 2 J Примеры для упражнений а) у = 2х2— Ах + 1 ; б) у = 2 — 6х — Зх2; г) у = х3— 9х2+ 15jc — 3; е) у — хъ— 5х4+ 5х3— 1; з) у = (х+ 2 ) 4 * - З ) 2; д) у — х 3—-Зх2+ 6х + 7; ж) у = х3-(х — I)2; и) у — V х 2; 1 л) у — — ; X к) у = V х — 2; м) У = х + V х. IV. Максимумы и минимумы функции о <х а, Чертеж 19. Чертеж 20. * С лат.— exstremum, maximum и minimum, значит соответственно крайиий, наибольший и наименьший. 132