УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

III.Исследование функций на монотонность с помощью производной 1 . у —КХ + Ь. у ' —К. Производная постоянная во всех точках области определения функции. Следовательно, если К У 0, то у — возрастающая функция, если К < О, то у — убывающая. 2. у = х1 — 4х + 1. Функция непрерывна на (—оо:оо). Найдем про­ изводную: у' = 2х — 4. а) Приравниваем производную нулю: 2х — 4 = 0, откуда х = 2. б) Значений х, в которых у = ± оо или у — не существует—нет. Следовательно, интервалами монотонности являются (— оо:2)и(2; оо). Видно, что для всех х > 2, т. е. принадлежащих (2; оо) и у ' > О, а для х < 2 , у ' < 0 ; значит, на (— оо; 2 ) данная функция убывает, а на (2; оо)—возрастает (черт. 17). Минимальное значение функции при х = 2 равно (—3). 3. Определить интервалы монотонности и характер изменения на них функции у = - j х3 — у х2 — 2х + 1 . Найдем производную: у ' = х2 — х — 2. Найдем границы интервалов монотонности, так называемые кри­ тические точки: а) из условия у ' = 0 находим, что jc, = — 1 и хг= 2; б) конечных значений х, в которых у ' — ± оо или у ' — не суще­ ствует,—нет, поэтому других критических точек нет. Следовательно, данная функция имеет три интервала монотонности (—оо; — 1 ); (— 1 ; 2 ) и ( 2 ; оо). Установим знак производной на этих интервалах. Представим у ' так: у ' = (х + \)‘ (х — 2). Тогда для всех х из (—оо; — 1 ) будем иметь л + 1 < 0 и л; — 2 < 0 , значит, / > 0 и на (— оо; — 1 ) у — возрастающая функция. Для всех х из (—1; 2) будем иметь (х + + 1)> 0 и X — 2 <0 , значит, Y' < 0. Следовательно, на (—1; 2) функция Y— убывает. Для всех х из ( 2 ; со) будем иметь л :+ 1 > 0 и л: — 2 > 0 , значит, у ' > 0 ; следова­ тельно, на ( 2 ; оо) функция у — возрастает. 9* 13L