УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Таким образом, возрастание функции характеризуется положи­ тельной производной во всех точках интервала возрастания, за ис­ ключением отдельных точек, где производная может быть равна нулю (на черт. 16 в точке С производная равна нулю, а точка С принадлежит интервалу возрастания). Из графика функции видно, что на интервалах возрастания каса­ тельные к кривой в любой ее точке образуют с осью х-ов острый угол, значит, угловой коэффициент касательной К = tg<p> 0 , откуда у' > 0 . Т е о р е м а 2. Если функция у = /(х ) , имеющая производную в любой точке (а; Ь), убывает на (а; Ь), то для любой точки х этого интервала / ' (х) < 0 . В самом деле, р а з . у = / ( х ) на (а; Ь) убывающая, то для любых х, и х 2 из (а; Ь) неравенство х 2 — х, > 0 влечет за собой неравен­ ство / ( х 2) —/ (х ,) < 0 . Следовательно, — = <; 0 ; откуда у ' = lim — < 0 . Ах х2— х, Дл--о Ах Значит, на интервале убывания функции производная отрица­ тельна во всех точках интервала, за исключением некоторых точек, где она может быть равна нулю. Касательная к кривой на участке убывания образует с осью х-ов тупой угол, поэтому /C=tg<p < 0 и _у' < 0 . На границах интервалов монотонности могут встретиться следую­ щие случаи (см. график черт. 16): а) / ' (х) = 0 , когда касательная параллельна оси х-ов (в точках а , Ь и d); б ) / ' ( х ) = ± оо, когда касательная параллельна оси _у-ов (в точ­ ках I и КУ, в) Г (х) — не существует, н о / (х ) может и существовать и не суще­ ствовать, т. е. возможны различные случаи, как, например, в точках L, т и п. Суждение о возможных значениях производной на границах ин­ тервалов примем без доказательства (не предусмотрено программой). Это суждение достаточно понятно из графика. Итак, на интервалах монотонности производная имеет опреде­ ленный знак. Это очень важно для исследования функции, но пока мы установили лишь необходимый признак возрастания или убыва­ ния функции, т. е. что следует из возрастания (убывания), а для исследования функции этого мало. Было бы желательно иметь такой признак, по которому видно было бы, что функция возрастает или убывает. Здесь естественно возникает вопрос: не являются ли спра­ ведливыми теоремы, обратные рассмотренным теоремам 1 и 2 , т. е. нельзя ли судить о возрастании или убывании функции по знаку производной? В действительности оказывается это именно так, т. е. имеет место следующая теорема. Т е о р е м а 3. Если производная f'(x ) данной функции / ( х ) поло­ жительна (отрицательна) для всех значений х промежутка (а; Ь), то функция Ту этом промежутке возрастает (убывает). Эта теорема утверждает, что знак производной на интервале мо­ нотонности является признаком, достаточным для установления воз­ растания или убывания функции. Смысл ее понятен, т. к. она яв­ ляется обратной теоремам 1 и 2 . Теорема эта лежит в основе теории исследования функции. Мы примем теорему 3 без доказательства. 130