УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Чертеж 4-а. N зуется величиной отношения приращения площади сектора (АА^РХВ) к его ширине (Дг) (чертеж 4). Это отношение, как мъ! видели, тем точнее характеризует длину дуги окружности, чем меньше Тол­ щина ленты (кольца). Распространим сказанное на более общий случай кривой линии CD (выпуклой и гладкой) (см. чер­ теж 46). Полоса CMND образо­ вана так: отрезок CM = h, будучи нормальным к кривой CD в каж­ дой ее точке, перемещается так, что один его конец (точка С) движется по кривой CD , а второй его конец (точка М) описывает кривую MN. Обозначив площадь полосы CMND — S, ее ширину — Л и длину кривой CD через I и абстрагируясь от конкретных данных (см. чер­ теж 4), придем к следующему определению: I = lim — (здесь Л-0 h § предполагается, что 5 и lim — при Л—»0 существуют). Применив это определение длины кривой линии к выводу формулы длины дуги окружности АВ, содержащей а0 (чертеж 4), получим 4 о = lim А - О с дс ^полосы ___ Ц щ '-’ сект Дл- о Дг lim Дг-*0 It ( Г + Д /")2 а 360 тгг2а ' Ж Д г ■ка .. 4 , 2лга —— lim (2г + Дг) = ^ 360 Дг - о 360 теГа 180’ ?а= площади АуАВВх, а й= Дг(черт. 4). Формулу длины окружности получим из только что выведенной при а = 360°. Практика приближенного измерения длины кривой линии в гео­ дезии, картографии и т. п. с помощью аппроксимирующих вписан­ ных ломаных линий приводит к определению длины кривой как пределу последовательности периметров соответствующих вписан­ ных ломаных линий при неограниченном увеличении числа их звеньев 13