УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967
Чертеж 4-а. N зуется величиной отношения приращения площади сектора (АА^РХВ) к его ширине (Дг) (чертеж 4). Это отношение, как мъ! видели, тем точнее характеризует длину дуги окружности, чем меньше Тол щина ленты (кольца). Распространим сказанное на более общий случай кривой линии CD (выпуклой и гладкой) (см. чер теж 46). Полоса CMND образо вана так: отрезок CM = h, будучи нормальным к кривой CD в каж дой ее точке, перемещается так, что один его конец (точка С) движется по кривой CD , а второй его конец (точка М) описывает кривую MN. Обозначив площадь полосы CMND — S, ее ширину — Л и длину кривой CD через I и абстрагируясь от конкретных данных (см. чер теж 4), придем к следующему определению: I = lim — (здесь Л-0 h § предполагается, что 5 и lim — при Л—»0 существуют). Применив это определение длины кривой линии к выводу формулы длины дуги окружности АВ, содержащей а0 (чертеж 4), получим 4 о = lim А - О с дс ^полосы ___ Ц щ '-’ сект Дл- о Дг lim Дг-*0 It ( Г + Д /")2 а 360 тгг2а ' Ж Д г ■ка .. 4 , 2лга —— lim (2г + Дг) = ^ 360 Дг - о 360 теГа 180’ ?а= площади АуАВВх, а й= Дг(черт. 4). Формулу длины окружности получим из только что выведенной при а = 360°. Практика приближенного измерения длины кривой линии в гео дезии, картографии и т. п. с помощью аппроксимирующих вписан ных ломаных линий приводит к определению длины кривой как пределу последовательности периметров соответствующих вписан ных ломаных линий при неограниченном увеличении числа их звеньев 13
Made with FlippingBook
RkJQdWJsaXNoZXIy ODQ5NTQ=