УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

2. Найти путь, скорость и ускорение движения: S = ЗР - 2t2 + 5t — 1 (м) S = 2 / 4 - З /3 + t2- 3t + 1 (м) при t — 2 сек. при t = 2 сек. 3. Найти уравнение касательной к кривой Y = V хг — 2jc + 1 У = 1/д :2 — х + 1 в точке с 1 = 2 . в точке с / Что можно сказать о касательной к данной кривой: в точке с Х = 1 ? в точке с Х = —? 2 § 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ I. Интервалы монотонности Пусть функция y — f(x ) задана графиком черт. 16. Из данного графика видно, что на (a; b)\ ( d ; е); ( К; L); (т; п) и («; оо) функция убывает, а на (b , d)\ (е; К) и (L; т) данная функция возрастает. О п р е д е л е н и е . Числовые промежутки значений аргумента (из области определения функции), на которых данная функция либо возрастает, либо убывает, будем называть интервалами монотон­ ности функции. II. Знак производной на интервалах монотонности Т е о р е м а 1. Если функция y = f ( x ) , имеющая производную в каждой точке ( b ; d), возрастает на ( b\d), то для любой точки х этого интервала / ' (х) > 0 . Раз функция у —f (x ) возрастает на ( b ; d), то для любых х { и х2 из ( b ; d) неравенство х2 > х х влечет за собой неравенство f(*2) >/(■*»). следовательно, L >о, откуда у ' = lim -- >0*. Ах Х 2 — X , Ах 1 Предел положительной переменной величины либо положительное число, либо 0 (если он существует). Если для _у> 0 предположить существование отрица­ тельного предела, то в процессе своего изменения величина у с некоторого момента должна стать и остаться отрицательной (по смыслу предела), что невозможно. Б-142.-9 129