УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Найдем производную от правой и левой частей формулы бинома Ньютона. п(х + а)"-1= Ах + 2*Л2*х + 3-Л3-х2+ .... + л*Лв*х“-1. Это равенство также является тождеством, которое верно и при х = 0, тогда п-ап~х = Аи следовательно, Л, = п-а П — 1 Найдем вторую производную (производную от первой) п(п — 1)*(х + а)п~2 = 2-Л 2 + 3-2-Л3-х + ... + п(п — 1) Лп-хп_2. При х =?0 п (п — 1)*а " - 2 = 2Л2, значит, Л 2 = —П'(п — 1 )-а' Найдем третью производную (производную от второй), и (л — 1)-(и — 2)*(х + а ) п - 3 = 3-2*Л 3 + 4-3-2-Л4*х + + .... л (л — 1)*( л — 2 ) ‘ А п ‘ Х п~ 3. При X = О, л (л — 1 )-(л — 2)-ап~3 = 3*2-Л3, значит, Л 3 = п (п~ 1) ^ п~ 2> дЯ-З I -2-3 Отсюда видно, что . я ( и - 1 ) - ( и - 2 ) . . . . [ я - ^ - 1 ) 1 а п - к А я ( я — 1 ) - 1 д „ - „ t * 1 * 2 * 3 . . . . А п 1 - 2 . . . я Таким образом, формула бинома Ньютона имеет вид: (х + а)п = ап+ пап~х-х + " ^ *а п~ 2 *х 2 + ... + я ( я - 1 ) Л [ я - ( 1 , - а д ^ 1 -2...к П р и м е р : (х + V~2)s— (l/'~2f + 5 ()/2 )4‘Х + ~ ( / ' 2 ) 3 *х 2 + 1 «2 + L ± i (] /' 2 ) 2 А-3 + 5 ' 4 3 2 ..|/~ 2 .х 4 + х 5 = 4"|/ 2 + 2 0 х + 20-Vl-x 2 + 1-2-3 1-2-3.4 2 0 *х 3 + 5- Iх~2-х 4 + х5. Итак, с помощью понятия производной мы получили одну из очень важных формул математики—формулу бинома Ньютона, имею­ щую широкое применение. Примеры для упражнений х_ 32. Найти уравнения касательных к кривым У — 2х; У = 2 х ; У *= log 2 -< и У — log 3 — в точке с ! = 1 . х 33. (1). Найти уравнение касательной к кривой: а) У — х* — 2х2 + 1 в точке X — 2; б) К— (л:—\)-Ух + 2 в точке с X = 2; х — 1 в) У = _г .. в точке с X = 1 . V X + 3 33. (II). Найти координаты точек, в которых касательные к данным кривым па­ раллельны оси Х-ов а) У = ах- -|- Ьх + с; 127