УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

З а м е ч а н и е . В этом примере следует подчеркнуть реальный смысл второй производной. II. Задачи из геометрии Покажем, как правила нахождения производной применяются для построения касательной к сложной функции. З а д а ч а . К кривой у = 4slnjr найти касательную в точке с х = 0 . Решить эту задачу — значит найти уравнение касательной, а для этого нужно найти координаты точки касания и угловой коэффициент касательной. При х = 0_у = 4 ° = 1 ; значит М ( 0; 1) — точка касания. Искомое уравнение будет иметь вид: у — 1 = Кх. Угловым коэффициентом касательной служит значение производ­ ной от данной функции в данной точке. К = у ' при х = 0. у ' = 4sin M n 4c os х, k = 4°-1п 4 -1= In 4. Тогда у — 1 = х In 4 или у = х-1п 4 + 1. К этому примеру можно поставить вопрос об определении точек, где касательная параллельная оси, х-ов. В этом случае К = 0, т. е. у ' = 4s,njr-ln4-cos х = 0, откуда, т. е. 4%1пхф 0 и In 4=^=0, имеем cos х = 0 , откуда х = -j + т , где п — целое. Действительно, из черт. 30 стр. 74 видно, что в точках, где х равен , тс , Зтс , ± —; ± — и т. д. функция имеет касательные параллельные оси х-ов. III. Вывод формулы бинома Ньютона Выражение Y = (X + а)" называется биномом Ньютона. Задача заключается в том, чтобы для любого п написать, чему будет равен этот бином. Например, при п = 2 (х + а)2 = а 1 + 2ох + х 2; при п = 3 (х + а)3 = а3 + За2х + Зах 2 + х3. Заслуга Ньютона заключается в том, что он указал способ раз­ ложения в ряд этой степени (получение правой части) для любого действительного значения п. Мы рассмотрим получение формулы бинома Ньютона только для натуральных значений п. . \ s Пусть у — (х + а)” = Л 0 + Ау *х + Л 2 -х 2 + Л 3 х 3 + ... + А п—i 'хП 1 “Ь +Ап-хп. При п— натуральном степень (х + а)'г — будет представлять собой произведение п двучленов (х + а), поэтому многочлен в правой части будет иметь конечное число членов, которые можно распо­ ложить по возрастающим степеням х. Для написания правой части следует найти способ определения коэффициентов А0; Л,; Л2; ... Л„. Написанное равенство называется формул й бинома Ньютона, левая часть ее—бином Ньютона, а правая часть—разложение бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона является тождеством, верным и при х = 0 , тогда ( 0 + а)п= Л 0 + Л,-0 + Л2-0 + .... + Л„-0, т. е. ап = Л0, следовательно, 126 Л 0 = ап .