УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

висимости от длины его, рассматриваемой от точки А, выражается формулой: УИ= 0 , 1 л :3 — 0 , 2 л :2 + 1 Ох (г), т. е. величина М — есть масса стержня АХ, где 0 х АВ. Р е ш е н и е . Плотность вещества данного стержня можно рас­ сматривать, как предел отношения приращения массы к соответ­ ствующему приращению объема стержня (апри постоянном сечении к приращению длины стержня), когда последнее стремится к нулю, т. е. ' Р = l im -- , Ддг-о А х тогда в данном примере Р = М ' = 0,3л :2 — 0,4л; + 10 (г/см3). При X = l см М = 9,9 г, а Р = 9,9 г/см3; При Х = 2 см М = 20 г, а Р = 1 0 ,4 г/см3-. При Х = 0,5 см М = 4— г, а Р = 9 — — . F 80 8 м > З а д а ч а 4. Исследовать движение, заданное законом: ! + . _ « + 1 3 , 5 (м), о Z т. е. а) найти формулы скорости и ускорения; б) установить промежутки времени, когда движение идет впе­ ред и назад; в) установить промежутки времени, когда движение замедлен­ ное и когда—ускоренное; г) указать как движется тело при f, = 2; / 2 = 3 и /3= 5 сек. Р е ш е н и е , а) V = t2— t — б ( -^-Л и а = 2t — 1 (Л— \ч \сек / ' сек 2 / б) движение вперед характеризуется положительной скоростью, а движение назад — отрицательной, поэтому найдем промежутки, где V > 0 и где V < 0. V = (t + 2)'(t — 3), следовательно, при t > 3 и V > 0 (здесь предполагается, что t > 0) и при 0 < / < 3 V < 0, значит, для 0 < t < 3 движение идет назад, а для t > 3 — вперед. в) Движение будет ускоренным, если знаки ускорения и скорости совпадают, и замедленным—если знак ускорения противоположен знаку скорости. Установим промежутки знаков ускорения. . a = 2t — 1 > 0 при t > ~ и a = 2 t— 1 < 0 при Поэтому в ^0; - ^ а < 0 и V < 0 — движение ускоренное назад; в 3 ^ а > 0 , а V < 0 — движение замедленное назад; в (3; оо) а > 0 и К > 0 - движение ускоренное вперед. г) При / = 2 сек — движение замедленное назад, при этом V = —4 — - и « = 3 — ; при t — 3 сек. V = 0 — это момент времени, сек сек2 в который меняется направление движения; при /= 5 сек V = 14----, сек а = 9 — ^— движение ускоренное вперед. 125