УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

§ 3. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В порядке повторения запишем таблицу формул и правил на­ хождения производной. а) Правила: / \/ ' ' / / V, V Уъ'У\ У\'Уг 1. (У1 + У г - У г ) ‘ = У Х + У2 - ^ 3; 4 -Г Г ----------2--; \Уа/ у! 2 . (У1'У2У = У [ ‘У 2 +У г У 2’ 5 • { / [ ? ( • * ) ] } ' = / ' 1 ? С *)1 *«Р ' (■*)• 3. (с->»)/ = с-У: б) Ф о р м у лы : 1 . с ' = 0 ; 7. (tg л)' = —-— ; COS2 X 2 . х ' = 1 ; 8 . (ctgx)' = --- ; sin 2 л: 3 . (хпу = п-хп~1; 9 . (аху = ах-\па- 4. (уп)' = п-у"-у'\ Ю. (logax)' = j- lo g a e; 5. (sin х)' = cosx; 11. (arc sin x)' = — (arc cosx)' = -pz===^; 6 . (cos x)' = — sin x; 1 2 . (arctgx)' = — (arc ctgx)' = 1 1 + Jt 2 П р и м е ч а н и е . Все правила 1—5 нами доказаны. Формулы 1—7 нами выве­ дены. Формулы 9—12 принимаем без доказательства, ими пользуются следуя всем правилам 1 —5. I. Задачи из некоторых отделов физики . З а д а ч а 1. Определить удельную теплоемкость воды, если известно, что количество тепла, расходуемое на нагревание 1 кг воды от 0 ° до температуры /, определяется по формуле: Q = t + 0.00002 / 2 + 0,0000003/* (к-кал). Р е ш е н и е . Под удельной теплоемкостью понимают количество тепла, расходуемое на единицу температуры, т. е. как скорость расходования тепла при данной температуре. Следовательно, теп­ лоемкость вещества есть lim ~ = с, тогда с = Q' = 1 + 0,00004/ + + 0,0000009/2. При /==10°, с = 1,00049, и при / = 99°, с = 1,01278. З а д а ч а 2. Определить потребляемую мощность электронагре­ вательного прибора, зная, что электроэнергия, расходуемая этим прибором, определяется по формуле: Л = / 2 . / ? . / ( 1 + 0 , 0 0 0 0 1 /) дж. Р е ш е н и е . Мощность можно рассматривать как скорость рас­ ходования энергии в данный момент времени, поэтому W = lim — , Д / - 0 At тогда W = / 2 - R ( 1 + 0 , 0 0 0 0 2 /) ватт. При / = L4, R - 5002 и / = 0 W = 500 ватт, а для / = 10 мин W = 500-(1 + 0,00002-600) = 506 ватт; при / = 1 час W = 500-(1 +0,00002-3600) = 536 ватт. З а д а ч а 3. Определить плотность вещества стержня АВ, если стержень имеет одинаковое поперечное сечение, а его масса в за­ 124