УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Дадим приращение Дх аргументу X, тогда функция я получит приращение Ап, а функция у получит приращение Ау, тогда: I. я, = п + Ап = <р (х + Дх) и у х= у + Ду = / ( я + Ап). II. Найдем Ду: Ay = f ( n + An)—f(n ). и * TI „ Д у Д у / ( л + Дл) — / ( л ) III. Найдем— : — = —----- - — —— , домножим и разделим Д х Д х Д х это выражение на Ап, полагая, что при Дх—*0, Дя =£ 0, тогда: Д_у / ( л + Дл) — / ( л ) Дл Д х Дл Д х IV. у ' (х) = lim f ( n) . . Пт — t но lim An = lim — X Длг -> 0 д n Д х - о Д Х ДЛГ-.0 \ x -* о Дх X. Дх = я'-0 = 0. Значит, при Дх—>0 и Ап— >0, поэтому у ' (х) = lim — • lim — = у ' (п)-п'(х) или у ' (х) = / ' (п)-<р' (х) Длг - 0 Д х ДАТ о Д х __________________________ П р и м е р 1. _у(х 3 + х2+ I)5, где у = п° и п = х 3 + х- + 1. у' (п) = 5-п4, а п'(х) = Зх 2 + 2х, но У' = У' (п)'Пг (х) = 5-я 4 (Зх 2 + 2х) = 5х (х 3 + х 2 +1)4Х X (Зх + 2 ). Итак, у ' = 5х(3х +. 2)-(х 3 + х 2 + I)4. - 1 -t П р и м е р 2. у = / х 2 + 1, _ у '= - ( х 2 + 1 ) 3 .(х 2 + 1)' = 3 2х 3/— 3-> (х2-Ь I ) 2 П р и м е р 3. _у = sin (2х + у ' = cos^2х + •2 = = 2 cos П р и м е р 4. у — tg 3 Зх. _y' = 3-tg 2 3x--- 1— -3= 9'1]-3х- . cos 2 Зх cos 2 Зх П р и м е р 5.) у = Л cos ягх. у ' = Л-(— sin /ях) т = — Л/и-sin /я-х. Примеры для упражнений 29. Найти производные следующих функций: __________ 3/- а) _у = (х 1 — 2х 2 + 2)3; б) у = \— х + х2; в) у — У х — 1; з ---- ( х + 1)3 V х —1 г) у = (х *~ д) 3 > = --- —-- ; е ) у = - у = = = . ж) У = 3-(х — 1)3-Кх + 2; з) j ’ = ( К х 2 + 1— I)3: и) y = ( V x — х2)'. 30. Найти производные следующих функций: а) у = sin mx; б) .у = tg mx; в) у = sin 2 х; sin Зх r ) j ' = cos 3 x; д) .у = sin 2 x-cos х — — -— ; e ) j = sin 2 2 x: О ж) у = cos 3 2х — cos 4х; з) у = sin (jt 2 + 1); и) у = tg 2 — Зх^ . 31. Найти уравнение касательной к кривой у = у^х3— 6 х в точке с х = — 2 и х = 8 . Что будет в.точке с х = 0 и х = 6 ? 123