УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

IV шаг. Находим Ах у ': у ' — — lim s in /x + — V lim Дх-О I 2 / Дх —о Ах 2 Значит, sin — •= —-sin х. (cos х)' — — sin х . в) Производная OT.y = tgx у , __ / sin х у __ cos x (sin x)' — sin x-(cosx)r __ cos2 x 4- sin2 x ______ 1 _ \cos x J cos2 X cos2 X COS2 x Итак, ( t g * ) ' cos2 X Таким образом, зная производные синуса и косинуса, можно найти производные остальных тригонометрических функций. П р и м е р ы : l._y = s in 2 x. у ' = ( 2 sin x-cosx)' = 2 (cos х- cos х — sin х sin х) = 2 *cos 2 х. 2 . у = sin 2 x. у ' = (sin x-sin х)' = cos x-sinx + sin x-cos x = sin 2 x. 3. у = cos2x. y ' = (cos x>cos x)' = — sin x* cos x — cos x*s inx = — sin 2 x. 4. у = cos 2x. • y ' = (cos 2 x — sin 2 x)' = — sin 2 x — sin 2 x = — 2 sin 2 x. c cos 2.x s in jc (— 2sin2x) — cos 2 x * cosa : ( cos 2 jc -2)-cosx о . у — ---, у ----------------------------------------- • $in x sin 2 x sin 2 x Примеры для упражнений 27. Найти производные следующих функций: а) у — ctg х; б) у = sec х; в) у = cosec х; г) у = tg2 х; sin л: — cos х sin х — cosx sin f Д) У = ----:----- ; е) у = ---- --- — ; ж) S = - : sin х sinх + cosx 1 4- sin t з) у — sin 3 x; и) у — sin Зх. 28. Найти уравнение касательной к кривой у = sin 2х 4- 2 sin х в точке с х = 0 к и х = — . Найти координаты точек, в которых касательная параллельна оси х-ов, в промежутке ( 0 ; 2л). VIII. Производная функции от функции Примеры функций от функций. а) У = (х 3 + х 2 + I)5; у = л5, где « = х Ч х 2+ 1; б) У = V\ — х 2; у — У п, где п = 1— х2; в) у = sin ^Зх — ; у = sin л, где л = Зх — j ; г) у = cos 3 ^Зх — ; у = л3, где л = cos ср и ср= Зх — ^ . Производная функции от функции. Пусть нам дана функция y = f ( n ) , где л = <р(х), причем функция л = ср(х) имеет производную в точке х, а функция y = f ( n ) имеет производную в точке л = <р(х). 122