УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

х* — 4х + 3 ч х+\ х - 1 '• х 3 + 4х + 3 ■ 25. При каком значении х производные следующих функций равны 0 и при каких значениях х производные не имеют смысла, т. е. у ' — оо: х — \ „ч х2 х2— 4 а ) у ~ 7 Т Т : в) •’’ - *> -& «+ 6 ; 26. При каких значениях х касательные к следующим кривым будут параллельны оси х-ов и при каких значениях касательные будут перпендикулярны оси jc-obV 1 ' 5 2 — х Зг— а) у = — х3— — х2+ 6х + 1; б) у = '^ _ х > в) у = у х; ' г ) , = х - 2 ^ „ ^ ^ ± £ ± 1 ; е ) „ = х > - ^ . П р и м е ч а н и е к п р и м е р а м 25 и 26 а) Касательная параллельная оси х-ов, значит, она образует с осью д>ов угол, равный 0 , т. е. угловой коэффициент равен нулю, значит, в этой точке производная равна 0 . б) Касательная перпендикулярна оси х-ов, значит, она образует с осью л:-ов угол в 90°, тангенс которого не существует, значит, не: существует и производной. в) Пример: у = 4 V ~х— х, тогда у ' = 2 ~ ■ При х = 4, у ' = 0, значит, VX в точке (4; 4) касательная к данной кривой будет параллельная оси абсцисс. При х = 0 производная не существует; прямая х = 0 является касательной, перпендику­ лярной оси х-ов. , VII. Производные от тригонометрических функций. а) Производная от .у = sin л*. I шаг. Для некоторого Дх найдем у + Ду = sin (х + Дх). I I шаг. Найдем Ду: Ду = sin (х + Дх) — sin х = 2 cos ^х + •sin ~ . Дх sin Ау _ Ау / Ах \ 2 I I I шаг. Найдем — : — = cos ( х + — Дх Дх \ 2 Дх 2 IV шаг. Найдем у': у ’ — lim cos^x + — V lim Г Д * - > 0 \ 2 У Д х — 0 Значит, , Дх sin — • ____ 2 _ Ах 2 = C O S X . (sinx)' = cosx б) Производная от у = cosx. I шаг. Для некоторого Дх находим у + Ду = cos (х + Дх). I I шаг. Находим Ду: Дх \ , —-Дх - 1 Г Ду = cos (х Ч-Дх) — cos х = 2 sin ^х + -~ IIIшаг. Находим — : — = — sin ( х + — ^ Ах Ах \ 2 ) , sin J 2 Дх sin — Дх 2 * В порядке упражнений производная от _y= sinx находилась ранее, теперь же этот вопрос рассматривается в полном объеме. Точно также, как в данном слу­ чае для у = sin х и у = cos х можно найти производные от функции вида: у = sin тх; у = cos тх; y = tgmx и др. 121