УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

i — 1 П р и м е р ы : 1- у = \r x1 у ' = ( x 3 )' = —• л : 3 = —• * 3 = 3 3 3 .V 7 2. У = x 2 у ' = — 2-х 2 1 / 3. v = — у ' — -3-х~4. х3 Примеры для упражнений 21. Найти производные от следующих функций: 1 1 1 1 а) у = 5х4 — — х 3 + х — 1; б) .у = — л :5 — — х* + — х2— х; о о 4-Z _ ___ 3 — 4/-— 1 _ 5 1 В) у = V x + У X + У х; г ) у = — + X — —т = ; х у х 3 г— Ъ— 2х . „ 5 — з — 2л :2 О/ ---О — I X ° / д) у = 2.V 2 • У х2+ --- — ; е) у = Зх ■ у х 3 х2 л :3 22. Найти уравнение касательной к кривой у = л :7 — 63л: в точке с х = 2. 23. Найти скорость и ускорение движения, совершаемого по закону 5 = 5 - / 5 — — 4 /4 -г 1 (м) при t = 1 сек. Правило VI. Производная частного двух функций. Пусть нам даны две функции У\=/\(х) и у2= / 2 (-к)* имеющие производные в точке х, причем в рассматриваемой точке /ц (х)Ф 0 . Образуем функцию у = — . I шаг. Для некоторого Дл: получают приращение у х и уъ а так- у -L. Д у же и у, причем у + Д у = —---— • Уз + ^Уз I I шаг. Найдем Ду: д = _Vi_+j\yi___ J !i — У,-Уг + Уг^У! —Ух-Уз—У\-ЬУз Уз + ЬУз Уз Уз (Уз + byг) Ду, Ду, т, Л Ду Ду Уг Ах У гАх I I I шаг. Найдем — ; — = -------------. Ах у Л Уз-(Уз + Дл) тт ч. / / / У\\' Уз'У 1— У>’У2 IV шаг. Найдем у': у = ( — ) = ----- ----- . \Уз J у\ (Объяснения к данному выводу аналогичны данным при выводе правила IV, шаг IV). П р и м е р ы : 1. у = —— — , v р * X 2 4-1 , _ (л :2 + 1 )-2 — ( 2 л: — 1 )- 2 л: = 2 ( 1 + л: — л:2) . ' _ (л :2 -f I )2 (л :2 + I )2 о 3 , (х + 1)-0 — 3-1 2 2. У - ---- , у = ------ ----------- ------------ . л: + 1 ( х + 1)2 ( х + 1)2 Примеры для упражнений 24. Найти производные следующих функций: х2 х2 — 1 а -2 — х + 1 , | -, - " 5 Т 7 7 Г : 120