УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

где по определению производной в точке имеем: lim — —у[ и lim — —у'2\ \х - »0 Ах -Г1 длг-оДх ^ значения функций у г и у2 в точке х от Ах не зависят, поэтому lim ^ 1 = у х и lim у2= у 2, а в силу непрерывности данных функций* при Дх—>0 и Ду—>0 зна­ чит, lim Ду 2 = 0 h ^ ' j - 0 = 0 (т. к. у\ — число). Следовательно, У' = (^ i -УгУ = У\-У2+УгУ\ Следствия из правила IV. а) Постоянный множитель можно вносить за знак производной. (с-у)' = С’у' + с'у = су' +0-у= су'. П р и м е р ы : 1. у — \0х. у ' = (10-х)' = 10-х' = 10. 2 . у = х 2'. у' = (х - х )' = х - х ' + х '* х = х + х = 2х. 3. у = х 3. у' = (х2-х)' = х 2-х' + (х2)'-х = х 2-1 + + 2 х-х = Зх2. б) Производная произведения п функций. Для п = 2 правило получено (IV). Пусть при n — k имеет место СУ 1 -У г ■••УкУ = У\‘ У2-Ук + У\-У2 Ук + - + У 1 'Уг‘Ук■ Рассмотрим для n = k + 1. {Ух -У а Ук'Ук+уУ = (У1 -У 2 •••ЗО'Л-ц + (У\'Уг -Ук)-У 'к + 1 (пРав- ,v )- и ( ^ 1 * Л - Л + 1 )/ = У 1 - Л - Л + 1 + ^ 1 -У 2 - 3 '* + 1 + - + ^г> , 2 - Л - У а + 1 + + ^ 1 ^ 2 - Л ^ +1. Значит, по принципу математической индукции имеем: (У\'У 2 - Л ) ' = У - ^ 2 - Л Л-Ух-у'2...уп + ... +УгУ2...у'п . в) Если ух—у2 = ... = Уп , то (_у”У = П'УП~1-у'. Правило V (следствие из IV в). Производная натуральной сте­ пени. Если_у = хп, то у' = п-хп~х, т. к. х ' = 1 . Итак: (хп)' = п-х' л— 1 П р и м е р ы : 1. = х 5 у 2 = 5х4; 2. у = Зх 4 .у' = 3-4х 3 = 12х3; 3. у = Зх 3 -f-2х 2 — Зх -f~5 у ' = 9х 2 -Ь 4х — 3; 4. = X2•(х 3 — 1) _у '== (х 2 ) '.(х 3 - 1) + х 3 -(х 3 - 1 ) ' = = 2х (х 3 — 1 ) + х 2 (Зх2) = 5х 4 — 2х; 5. у — (2 — х 2) •(х 3 — 3) у ' — — 2х (х 3 — 3) + + (2 — х 2) •Зх 2 = 6 х + 6 х 2 — 5х4. П р и м е ч а н и е . 1. Правила 1—V позволяют находить производные от любого многочлена. 2. Правило, выведенное из нахождения производной от степени функции, справедливо для любого действительного значения п (целого, дробного, положи­ тельного, отрицательного, рационального и иррационального, а не только натураль­ ного). Будем пользоваться этим правилом без доказательства его. * Непрерывность данных функций следует из существования произродных (см. дополнение к § 16). Ду2 Ау2 Если Ду 2 представить так: — -Ах, тогда lim Ay., = lim ■— lim Ax — y n -0=0; Ax длг- о ' Ax - о Ax следовательно, можно не пользоваться понятием непрерывности. 119