УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

IV шаг. Найдем у': у ' = lim — + lim — — lim — (по свой- Д х - О Ах д* о Ах Длг -* о Ах ству предела суммы функций). По определению производной следует, что lim — = у \; lim — =_у' и lim — —У*, Ьх-*оАх \x~oAx дх-ОД* откуда у' =у\ +У 2 - У 3 или (J'l + У 2 -У з У =У '1 + У 2 - У 3 Это правило справедливо для любого числа слагаемых. П р и м е р ы : 1 .у — х + 3 у ' = (х + 3)' = х ' + 3' = 1 + 0 = 1 у ' — 1 (правило I, II, III). 2. у = 5х / = (х + х + х + х + х ) ' = 1 = х ' + х ' + х ' + х ' + х ' = 1 + 1 -f 1 +1 + 1 == 5 3. у = Зх 5 у ' = 3 . 8 л:— 3 _ л 4 . _ у = — - 5. у = 1— х, 6 . _ у = ю - 3 х 7. у = -2~~45* . ^ * 15 Примеры для упражнений 17. Используя правила 1—III, найти производные: а) у = \3х— 100; б) .у = 73 — 20.x; 6х — 1 3 — 8 х В) У = ——---; Г) у = ----— . 18. Найти производные от функции (по шагам): а) у = -^г х3+ ■]-х2+ х + I; б) у = 2 (х — 2)3 + 3 (х — I)2; О Z | в) у = 2 ( х - 3 ) (х — 1)-(х + 1); г) j / = fl)_V = sinjc; e)_y = cosx. 19. Найти уравнения касательных к кривой у = sin х в точке с ^ = 0 и в точке тс С * = у- 20. Найти скорость и ускорение движения, если оно совершается по закону S = sin t, и вычислить скорость и ускорение при t — ~ (сек.). О Правило IV. Производная произведения функций. а) Пусть мы имеем две функции у х = / 1 (х) и у 2 = / 2 (х), которые имеют производные в точке х. Образуем функцию у =У\ -у2. I шаг. Для некоторого Дх получают приращение _у, и у 2, а сл довательно, и функция у, т. е. у + Ду = (_у, + Ayt)-(jf* + Ду2) =Ух-у% + J>rАУ2‘ +Уt'tyx + Ду, - Ау* . I I шаг. Найдем Ду: Ду = у Х'Ау2 + 2•Д 3 ;, + Ду,-Ду2. I I I шаг. Найдем — : = _у ,•— + .у2- ~ + ■ . Ах Ах Ах Ах Ах IV шаг. Найдем у': у' = lim — = lim _у,-lim lim _y2-lim — + lim — •lirnA.y,, Дх -*■ 0 А х Дх — 0 \ х - > о А х Дх - О Дх -*■ 0 Ах Дг — 0 Ах Дх - о 118