УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Правило 1. Производная постоянного равна нулю (чер. 14). Пусть у — с. I. Для некоторого Дх находим у х: Уi = c. II. Находим Д у: Ду = 0. III. Находим — : — = 0. Ах Ах IV. Находим у': у = 11т0 = 0. Итак, с' = 0 . . Правило II. Производная аргумента равна единице (черт. 15). Пусть у — х. I. Для некоторого Дх, у + Ду = х + Дх. II. Находим Ду: Д у = Дх. III. Находим Ду_. Дх = 1 . Ах Дх IV. Находим V у' — lim 1 = 1 Итак, х ' = 1 . П р и м е ч а н и е . Обе раесмотренные функции: у — С и у — х имеют графи­ ками прямые линии. Касательными к прямым будут прямые, совпадающие с данными. Поэтому из геометрических соображении легко установить то, то доказано в пра­ вилах 1 и II. I В самом деле, производная— это угловой коэффициент касательной, следова­ тельно, если для прямой у = С, К — 0, а для у = х, К — 1, то производная для у — С равна 0, а для у = х равна 1. Выведенные правила можно получить и из механического смысла производной. Действительно, если S — С> тодвижения нет, поэтому скорость равна 0, а значит, и производная равна 0. Еслиже S = t, то рас­ стояние численно равно времени движения, причем движение равномерное. Возможно это только тогда, когда скорость этого движения постоянна и равна 1 (единица пути в единицу времени) значит, и производная равна 1 . Правило III. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных слагаемых функций. Пусть функции у, = / , (х); у2= / 2(х) и _У3 = / 3(х) имеют произ­ водные в точке х . Возьмем функцию у = / , (х ) - Ь /2(х ) — / 3(х). I шаг. Для некоторого Дх найдем у + Ду: у + Ду =_у, + Ду, + у2 + Ду 2 - (у3 + Ду3) = / , (х + Дх.) + + / 2 (х + Дх) — / 3 (х + Дх). II шаг. Найдем Ду: Ду = Ду, + Ду 2 — Ду3. III шаг. Найдем — : :LL = ; Ах Ах Ах Ах Ах 117