УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Рассматривая непрерывную кривую линию, можно ставить вопрос о построении касательной к любой точке этой кривой. Мы говорим, что можно ставить вопрос (об определении ско­ рости или о построении касательной), но оказывается, что не в лю­ бой точке непрерывной функции существует производная, т. е. из непрерывности функции в точке не следует обязательное существо­ вание производной. Значит, теорема, обратная доказанной, не имеет места, а непрерывность функции не является достаточным признаком существования производной. Трудно себе представить момент движения без скорости, а не­ прерывную кривую с точками, в которых нельзя провести касатель­ ную, однако в анализе найдены примеры и таких функций. Приведем два примера непрерывных функций, в некоторых точ­ ках, не имеющих производной. а).У = М ; б) у = \хл— 5л 2 + 4|. Функция —у = |л:| в точке х = 0 непрерывна, но касательной не имеет. (Иногда говорят имеет две различные касательные, черт. 12). На чертеже 13 изображена другая функция, которая непрерывна во всех точках, но в точках х = ± 1 и х = ± 2 эта кривая каса­ тельных не имеет, значит, и функция не имеет производной. Кроме подобных примеров, в анализе известны и примеры таких функций, которые непрерывны во всех точках, но ни в одной точке не имеют производной. Конструкция этих функций слишком сложна, чтобы рассматривать их в данном случае. Укажем только, что впер­ вые построил такую функцию чешский матемитик Б. Больцано около' 1830 года, а затем немецкий математик К. Вейерштрасс в 1871 году. Итак, для существования производной необходима непрерывность функции, хотя она не гарантирует существования производной в лю­ бой точке. § 2. ФОРМУЛЫ И ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ До сих пор мы лишь знали общее правило для нахождения про­ изводной. Теперь мы познакомимся с формулами и правилами, кото­ рые позволят нам находить производную не по „шагам", а значи­ тельно быстрее по этим правилам. 116